【解析学】実数の連続性ー上・下限の存在

実数の連続性の公理の一つ、「上・下限の存在」を紹介しておきます。

実数 の部分集合 に対して、 が上に有界ならば、その上限 が存在する。
また、 が下に有界ならば、その下限 が存在する。

これは実数はびっしりと数直線上に並んでいることを表しています。

有理数 に限って考えてみると、有界だからといって、必ずしも上・下限が存在するわけではないことがわかります。

例えば、 という有理数の部分集合を考えると、これは上に有界ですが、有理数の範囲には上限が存在しないことがわかります。

参考
『「無限と連続」の数学』p.53

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内