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【確率過程】第2章「確率論の概要」の 2.1「確率測度と確率空間」

はじめに

兼清泰明 著『確率微分方程式とその応用』を読んでいきます。今回は第2章「確率論の概要」の 2.1「確率測度と確率空間」を読みます。なるべく定理や命題、式の意味を書いていきたいですね。

確率微分方程式とその応用

確率微分方程式とその応用

第2章「確率論の概要」

  • 準備として確率論の基本事項の概要を述べる
  • 現代確率論には測度論が必須

2.1 確率測度と確率空間

大事なのは、標本空間における全ての部分集合を事象として取り扱わない、ということではないでしょうか。つまり、事象(取り扱う対象)はある満たすべき性質を持つものだけに限る、ということです。これが定義 2.1.1です。つまり、

  • 全体は事象である
  •  A が事象であるとき  A^c も事象である
  • 可算無限個の事象があるとき、その和集合も事象である

という性質です。最後の性質は完全加法性と呼ばれている重要なものです。この3条件を満たす集合族を  \sigma 加法族(完全加法族、 \sigma-field、 \sigma-algebra)と呼び、その要素を事象とします。集合演算を可算無限回まで許容している点が重要です。

次に、確率を定義します。確率とは、事象に値を割り当てる関数(写像)のことです。確率にも満たすべき性質があります。それが定義 2.1.2です。つまり、

  • 確率は0以上である
  • 全事象に対する確率は1である
  • 可算無限個の事象があり、それぞれに被りがないならば(互いに素)

 \displaystyle \begin{eqnarray} 
P \left( \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(A_n)
\end{eqnarray}

が成り立つ。つまり、全体の確率は、各々の確率の和に等しい

最後の性質は完全加法性と呼ばれている重要なものです。以上の性質を満たす関数を確率測度と呼び、この関数に対して事象(集合)を入力したときに出力される値を確率と呼びます。

このように、ぎりぎりのところまで事象と確率を拡張しておくと応用上役に立つのです。以上は必要条件だけで、どのように確率を割り当てるかはまた別の問題です。

事象のことを可測集合とも呼びます。これは読んで字の如く、「測れる集合」です。測れる集合とは前に述べたような条件を満たす集合のことです。全事象  \Omega と事象の集合  \mathscr{F} のペアを可測空間と呼びます。全事象の中に、測れる集合、すなわち事象の集合を設定したわけです。事象の集合には色々な取り方があります。それが例 2.1.4です。

可測空間に確率測度  P を組み合わせた3つ組み  (\Omega, \mathscr{F}, P) を確率空間と呼ぶ、というのが定義 2.1.6です。つまり、全事象を用意して、測れる集合、すなわち事象を決めて、それに対して確率を割り振る関数、確率測度を決めてやってはじめて確率というものが考えられるということです。

定義 2.1.7は、確率を与えない集合が存在する、ということを言っています。測度が零の集合(零集合)ということです。

ある事象が起きる確率が1であるとき、その事象はほとんど確実に(almost surely、almost certainly)起きる、と呼びます。これが定義 2.1.8で、なぜ「ほとんど確実」かというと、測度が0の集合を事象として考えていないからです。

零集合の部分集合は必ずしも事象になっていません。しかし、これらが事象であるとき、この確率空間を完備であると呼びます。完備であるかどうかは起きる確率が0の集合にしか影響しないので、実用上は完備で無くとも問題ないようです。しかし、数学的に可測空間や確率空間で様々な列の極限を考える際には、完備でないと困ります。完備でないときは完備化という手法で完備にできます。たしか、列の極限を集合に加える、という操作だったと思います。なので、確率空間ははじめから完備であると仮定してよいのです。