【数値計算】二次精度風上差分の導出 - 数学とか語学とか楽しいよね

二次精度風上差分の導出をやります。備忘録みたいなものです。点 $i$ を中心に上流側二点の値を使うのが二次精度風上差分です。具体的には、流速が $V_i \geq 0$ のときは $i$ と $i-1$ と $i-2$ の情報を使います。一方、流速が $V_i < 0$ のときは $i$ と $i+1$ と $i+2$ の情報を使います。まず、 $V_i \geq 0$ のときから考えていきます。まず $u_{i-1}$ と $u_{i-2}$ の値を $u_i$ を中心としてTaylor展開します。

$\displaystyle u_{i-1} = u_{i} - \Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]$
$\displaystyle u_{i-2} = u_{i} - 2\Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (2\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]$

二階微分の項を消すために $4u_{i-1}$ から $u_{i-2}$ を引きます。すると

$\displaystyle 4u_{i-1} - u_{i-2} = 3u_{i} - 2\Delta x u'_{i} + O[(\Delta x)^3]$

となります。これを $u'_i$ について解くと

$\displaystyle u'_{i} = \frac{3u_{i} - 4u_{i-1} + u_{i-2}}{2\Delta x} + \frac{O[(\Delta x)^3]}{\Delta x} = \frac{3u_{i} - 4u_{i-1} + u_{i-2}}{2\Delta x} + O[(\Delta x)^2]$

となります。つまり二次精度になっています。

同様にして次は、 $V_i < 0$ のときを考えていきます。まず $u_{i+1}$ と $u_{i+2}$ の値を $u_i$ を中心としてTaylor展開します。

$\displaystyle u_{i+1} = u_{i} + \Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]$
$\displaystyle u_{i+2} = u_{i} + 2\Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (2\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]$

二階微分の項を消すために $4u_{i+1}$ から $u_{i+2}$ を引きます。すると

$\displaystyle 4u_{i+1} - u_{i+2} = 3u_{i} + 2\Delta x u'_{i} + O[(\Delta x)^3]$

となります。これを $u'_i$ について解くと

$\displaystyle u'_{i} = \frac{-3u_{i} + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta x} + \frac{O[(\Delta x)^3]}{\Delta x} = \frac{-3u_{i} + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta x} + O[(\Delta x)^2]$

となります。つまり二次精度になっています。

まとめると

$\displaystyle \left.V\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i = \begin{cases} \displaystyle V_i\frac{3u_{i} - 4u_{i-1} + u_{i-2}}{2\Delta x} & (V_i \geq 0)\\ \displaystyle V_i\frac{-3u_{i} + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta x} & (V_i < 0) \end{cases}$
となります。これが二次精度の風上差分です。