【Navier-Stokes方程式】MAC法によるNavier-Stokes方程式の離散化

今後キャビティー流れの計算をやりたいので、MAC法（Maker And Cell method）によるNavier-Stokes方程式の離散化について説明していきます。流速と圧力を直接未知数として計算する手法で陽解法です。

以下の内容は『流れ解析のための有限要素法』のpp.154-155を参考にしています。

作者: 中山司
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 2008/04/01
メディア: 単行本
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簡単のため二次元直交座標系で考えます。まず保存型のNavier-Stokes方程式は

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial (u^2)}{\partial x} + \frac{\partial (uv)}{\partial y} &=& -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \\ \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial (uv)}{\partial x} + \frac{\partial (v)^2}{\partial y} &=& -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) \end{eqnarray}$

です。連続式は

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

です。Navier-Stokes方程式と連続式を以下のように時間に対して離散化します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{u^{n+1}-u^n}{\Delta t} + \frac{\partial (u^n)^2}{\partial x} + \frac{\partial (u^nv^n)}{\partial y} &=& -\frac{\partial p^n}{\partial x} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 u^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u^n}{\partial y^2}\right) \\ \frac{v^{n+1}-v^n}{\Delta t} + \frac{\partial (u^nv^n)}{\partial x} + \frac{\partial (v^n)^2}{\partial y} &=& -\frac{\partial p^n}{\partial y} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v^n}{\partial y^2}\right) \\ \frac{\partial u^{n+1}}{\partial x} + \frac{\partial v^{n+1}}{\partial y} &=& 0 \end{eqnarray}$

次に1番目と2番目の式をn+1ステップでの流速について解いてそれらを3番目の式に代入すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial^2 p^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p^n}{\partial y^2} &=& \frac{1}{\Delta t} \left( \frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y} \right) -\frac{\partial^2 (u^n)^2}{\partial x^2} -2\frac{\partial^2 u^n v^n}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 (v^n)^2}{\partial y^2} \\ &+& \frac{1}{Re} \left[ \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y} \right) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y} \right) \right] \end{eqnarray}$

を得ます。 $\frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y}$ は連続式から0であるはずですが、数値計算上誤差が生じるので残してあります。しかし、 $\frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y}$ はある程度小さいと考えられるのでその二階微分はほぼ0である

$\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left( \frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y} \right) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left( \frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y} \right) = 0$

と考えることができます。よって

$\displaystyle \frac{\partial^2 p^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 p^n}{\partial y^2} = \frac{1}{\Delta t} \left( \frac{\partial u^n}{\partial x} + \frac{\partial v^n}{\partial y} \right) -\frac{\partial^2 (u^n)^2}{\partial x^2} -2\frac{\partial^2 u^n v^n}{\partial x \partial y} -\frac{\partial^2 (v^n)^2}{\partial y^2}$

を得ます。これが圧力に関するポワソン方程式です。

計算手順は以下のように1と2の繰り返しとなります。

1. nステップでの流速 $\boldsymbol{(u^n, v^n)}$ を用いて圧力のポワソン方程式を解きnステップでの圧力 $\boldsymbol{p^{n+1}}$ を得る
2. nステップでの流速と圧力 $\boldsymbol{(u^n, v^n, p^n)}$ を用いて離散化したNavier-Stokes方程式を解きn+1ステップでの流速 $\boldsymbol{(u^{n+1}, v^{n+1})}$ を得る