【Navier-Stokes方程式】SMAC法によるNavier-Stokes方程式の離散化

MAC法（Maker And Cell method）を改良した、SMAC法（Simplified MAC法）によるNavier-Stokes方程式の離散化について説明していきます。この手法は流速と圧力を直接未知数として計算する手法です。MAC法ではPoisson方程式の右辺を計算するのに負荷がかかっていましたが、それを簡略化したのがSMACです。なので、基本的にMACとSMACは同じもののようです。ただし、計算時間はSMACのほうが短いです。

以下の内容は『流れ解析のための有限要素法』のpp.160-163を参考にしています。

流れ解析のための有限要素法入門

作者: 中山司
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 2008/04/01
メディア: 単行本
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簡単のため二次元直交座標系で考えます。まず保存型のNavier-Stokes方程式は

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial (u^2)}{\partial x} + \frac{\partial (uv)}{\partial y} &=& -\frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) \\ \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial (uv)}{\partial x} + \frac{\partial (v)^2}{\partial y} &=& -\frac{\partial p}{\partial y} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}\right) \end{eqnarray}$

です。連続式は

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

です。Navier-Stokes方程式と連続式を以下のように時間に対して離散化します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{u^{n+1}-u^n}{\Delta t} + \frac{\partial (u^n)^2}{\partial x} + \frac{\partial (u^nv^n)}{\partial y} &=& -\frac{\partial p^{n+1}}{\partial x} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 u^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u^n}{\partial y^2}\right) \\ \frac{v^{n+1}-v^n}{\Delta t} + \frac{\partial (u^nv^n)}{\partial x} + \frac{\partial (v^n)^2}{\partial y} &=& -\frac{\partial p^{n+1}}{\partial y} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v^n}{\partial y^2}\right) \\ \frac{\partial u^{n+1}}{\partial x} + \frac{\partial v^{n+1}}{\partial y} &=& 0 \end{eqnarray}$

圧力を陰的に扱う（n+1ステップの値を用いる）ところがMACとの違いです。このままではn+1ステップの値があり解けないので、以下のようにnステップの値を用いて中間速度（予測子） $u^*$ 、 $v^*$ を計算します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{u^{*}-u^n}{\Delta t} + \frac{\partial (u^n)^2}{\partial x} + \frac{\partial (u^nv^n)}{\partial y} &=& -\frac{\partial p^n}{\partial x} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 u^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u^n}{\partial y^2}\right) \\ \frac{v^{*}-v^n}{\Delta t} + \frac{\partial (u^nv^n)}{\partial x} + \frac{\partial (v^n)^2}{\partial y} &=& -\frac{\partial p^n}{\partial y} + \frac{1}{Re} \left( \frac{\partial^2 v^n}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v^n}{\partial y^2}\right) \end{eqnarray}$

次に対応する運動方程式をそれぞれ引き算すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{u^{n+1}-u^*}{\Delta t} &=& -\frac{\partial}{\partial x} \left(p^{n+1} - p^n \right) = -\frac{\partial}{\partial x} \left(\delta p \right)\\ \frac{v^{n+1}-v^*}{\Delta t} &=& -\frac{\partial}{\partial y} \left(p^{n+1} - p^n \right) = -\frac{\partial}{\partial y} \left(\delta p \right) \end{eqnarray}$

を得ます。これが修正子にあたります。ただし

$\displaystyle \begin{eqnarray} p^{n+1} - p^n = \delta p \end{eqnarray}$

としています。これが圧力の補正量です。ここから $u^{n+1}$ と $v^{n+1}$ を連続式に代入します（n+1ステップにおいて連続式を満たすとする）。

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \left(\delta p \right) + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \left(\delta p \right) = \frac{1}{\Delta t} \left( \frac{\partial u^{*}}{\partial x} + \frac{\partial v^{*}}{\partial y} \right) \end{eqnarray}$

これがSMACにおける圧力の補正量に関するポワソン方程式です。圧力そのものではなく、圧力の補正量になっている点がMACとの違いです。

計算手順は以下のように1～3の繰り返しとなります。

1. nステップでの流速 $\boldsymbol{(u^n, v^n)}$ と圧力 $\boldsymbol p^n$ を用いて中間流速（予測子の式） $\boldsymbol{(u^*, v^*)}$ を得る
2. 中間流速 $\boldsymbol{(u^*, v^*)}$ を用いて圧力の補正量のPoisson方程式を解き、圧力の補正量 $\boldsymbol{\delta p}$ を求める
3. 圧力の補正量 $\boldsymbol{\delta p}$ を用いて、圧力と流速を補正（修正子の式）し、次のタイムステップの値 $\boldsymbol{(u^{n+1}, v^{n+1}, p^{n+1})}$ を得る