【浅水流方程式】1次元浅水流方程式の基本形
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1次元浅水流方程式(Shallow Water Equation, SWE)を勉強していきましょう!そのために、まず1次元浅水流方程式の基本形を書いておきたいと思います。
水平な長方形の一様断面を考えることにします。浅水流方程式においては非圧縮性が仮定されています(密度が時間・場所変化しない)。まず、水深と流速で記述した場合は
となります。ここで は時間、 は1次元座標、 は水深、 は流速、 は重力加速度です。上の式が連続式で、下の式が運動量方程式です。次に水深と流量を用いて記述する場合です。水深と流量の関係
を用いて上式を変形すると
となります。こちらの式は保存量で書かれており、数値計算ではこちらのほうがよく用いられている気がします。
次にこれらの式をベクトルでまとめておきます。まず、水深と流速の式は
です。次に、水深と流量の式は
となります。 は保存量、 はフラックス(流束)と呼ばれます。ベクトル形式はよく出てくるので慣れておきましょう。
次に、勾配と摩擦がある場合の式を書きます。まず、水深と流速の式は
です。ここで は河床の基準面からの高さ、 はマニングの粗度係数です。下の式の右辺第一項が勾配で、第二項が摩擦をあらわしています。流れの向きと逆方向に摩擦が働くように絶対値が付いています。次に水深と流量を用いて記述する場合は
となります。
次にこれらの式もベクトルでまとめておきます。まず、水深と流速の式は
です。次に、水深と流量の式は
となります。
参考
E. F. Toro, Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows, 第2章
R. J. Leveque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 第13章
R. Szymkiewicz, Numerical Modeling in Open Channel Hydraulics, 第1章
Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows
- 作者: Eleuterio F. Toro
- 出版社/メーカー: Wiley
- 発売日: 2001/03/23
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Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems (Cambridge Texts in Applied Mathematics)
- 作者: Randall J. Leveque
- 出版社/メーカー: Cambridge University Press
- 発売日: 2002/08/29
- メディア: ペーパーバック
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- 作者: Romuald Szymkiewicz
- 出版社/メーカー: Springer
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