【有限要素法】1次元有限要素法における面積座標（局所座標）の積分公式

今回は、1次元の有限要素法における面積座標（局所座標）の積分公式

$\displaystyle \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} L_1^l L_2^m dx = \frac{l! m!}{(l+m+1)!} (x_{i+1}-x_i)$

を示します。ここで $h = x_{i+1}-x_i$ は要素の長さ、 $L_1$ と $L_2$ は形状関数で、それぞれ

$\displaystyle L_1=\frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i}, \quad L_2=\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}$

とあらわされます。これを知っていると積分がサクサクできます。

まず、 $X = L_1$ とおきます。すると、 $L_1 + L_2 = 1$ より $L_2 = 1-L_1 = 1-X$ とかけるので上式に代入して

$\displaystyle \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} L_1^l L_2^m dx = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} X^l ({1-X}^m) dx$

を得ます。次に $x$ に関する積分を $X$ に関する積分に変更します。 $x = x_i$ のとき $X = L_1 = 1$ 、 $x = x_{i+1}$ のとき $X = L_1 = 0$ であり、 $\frac{dx}{dX} = x_{i+1}-x_i = h$ （これは1次元のヤコビアン）より

$\displaystyle \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} X^l ({1-X}^m) dx = \int_0^1 X^l ({1-X}^m) \frac{dx}{dX} dX = h\int_0^1 X^l ({1-X}^m) dX$

を得ます。ここで、こちらの記事

で紹介している公式

$\displaystyle \int_0^a x^m (a-x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} a^{m+n+1}$

を使うと結局

$\displaystyle h\int_0^1 X^l ({1-X}^m) dX = \frac{l! m!}{(l+m+1)!} h = \frac{l! m!}{(l+m+1)!} (x_{i+1}-x_i)$

となり目的の式を得ることができました。

この公式を使うと1次元の有限要素法における積分が簡単に計算できて便利です。

2次元有限要素法における面積座標（局所座標）の積分公式はこちらです。

参考
菊地文雄『有限要素法概説』のp.56とpp.148-150