数学とか語学とか楽しいよね

フランス語、ドイツ語、ロシア語、アラビア語、オランダ語、英語、スペイン語、ラテン語とか数学とか数値計算(有限要素法、有限体積法、差分法、格子ボルツマン法、数理最適化、C++コード付き)とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。noteにも書いています。https://note.mu/kumag_min

【有限要素法】1次元有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式

今回は、1次元の有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式


 \displaystyle \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} L_1^l L_2^m dx = \frac{l! m!}{(l+m+1)!} (x_{i+1}-x_i)

を示します。ここで  h = x_{i+1}-x_i は要素の長さ、 L_1 L_2 は形状関数で、それぞれ

 \displaystyle L_1=\frac{x_{i+1}-x}{x_{i+1}-x_i}, \quad L_2=\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i}

とあらわされます。これを知っていると積分がサクサクできます。


まず、 X = L_1 とおきます。すると、 L_1 + L_2 = 1 より  L_2 = 1-L_1 = 1-X とかけるので上式に代入して


 \displaystyle \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} L_1^l L_2^m dx = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} X^l ({1-X}^m) dx

を得ます。次に  x に関する積分 X に関する積分に変更します。 x = x_i のとき  X = L_1 = 1 x = x_{i+1} のとき  X = L_1 = 0 であり、 \frac{dx}{dX} = x_{i+1}-x_i = h(これは1次元のヤコビアン)より

 \displaystyle \int_{x_{i}}^{x_{i+1}} X^l ({1-X}^m) dx = \int_0^1 X^l ({1-X}^m) \frac{dx}{dX} dX  = h\int_0^1 X^l ({1-X}^m) dX

を得ます。ここで、こちらの記事

で紹介している公式

 \displaystyle \int_0^a x^m (a-x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} a^{m+n+1}

を使うと結局

 \displaystyle h\int_0^1 X^l ({1-X}^m) dX = \frac{l! m!}{(l+m+1)!} h = \frac{l! m!}{(l+m+1)!} (x_{i+1}-x_i)

となり目的の式を得ることができました。


この公式を使うと1次元の有限要素法における積分が簡単に計算できて便利です。


2次元有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式はこちらです。


参考
菊地文雄『有限要素法概説』のp.56とpp.148-150

有限要素法概説―理工学における基礎と応用 (FEM+BEM (3))

有限要素法概説―理工学における基礎と応用 (FEM+BEM (3))