数学とか語学とか楽しいよね

フランス語、ドイツ語、ロシア語、アラビア語、オランダ語、英語、スペイン語、ラテン語とか数学とか数値計算(有限要素法、有限体積法、差分法、格子ボルツマン法、数理最適化、C++コード付き)とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。noteにも書いています。https://note.mu/kumag_min

【有限要素法】1次元Poisson方程式(ポワソン方程式)の解析解

1次元Poisson方程式

 \displaystyle \frac{d^2u}{dx^2}+f(x)=0, \quad x \in [0, L]

の解析解を求めます。 f=1 とし、境界条件 u(0)=0 \left. \frac{du}{dx} \right|_{x=L} = 0 とします。まず  f を右辺に移項して一回積分すると

 \displaystyle \frac{du}{dx}=-\int 1 dx + C_1 = -x + C_1

を得ます。ここで  C_1積分定数です。 \left. \frac{du}{dx} \right|_{x=L} = 0 より

 \displaystyle 0 = -L + C_1

です。すなわち  \displaystyle L = C_1 を得ます。これを代入して

 \displaystyle \frac{du}{dx}= -x + L

となります。次にもう一度積分すると

 \displaystyle u= - \int (x+L) dx +C_2 = -\frac{x^2}{2} + Lx + C_2

となります。 u(0)=0 より

 \displaystyle 0= C_2

です。これを代入して結局解は

 \displaystyle u= -\frac{x^2}{2} + Lx

です。


この解を用いて1次元Poisson方程式に対する有限要素法(Galerkin法)の精度を調べます。