数学とか語学とか楽しいよね

フランス語、ドイツ語、ロシア語、アラビア語、オランダ語、英語、スペイン語、ラテン語とか数学とか数値計算（有限要素法、有限体積法、差分法、格子ボルツマン法、数理最適化、C++コード付き）とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。Amazonアソシエイトを使用しています。

数学有限要素法

1次元Poisson方程式

$\displaystyle \frac{d^2u}{dx^2}+f(x)=0, \quad x \in [0, L]$

の解析解を求めます。 $f=1$ 　とし、境界条件は $u(0)=0$ 、 $\left. \frac{du}{dx} \right|_{x=L} = 0$ とします。まず $f$ を右辺に移項して一回積分すると

$\displaystyle \frac{du}{dx}=-\int 1 dx + C_1 = -x + C_1$

を得ます。ここで $C_1$ は積分定数です。 $\left. \frac{du}{dx} \right|_{x=L} = 0$ より

$\displaystyle 0 = -L + C_1$

です。すなわち $\displaystyle L = C_1$ を得ます。これを代入して

$\displaystyle \frac{du}{dx}= -x + L$

となります。次にもう一度積分すると

$\displaystyle u= - \int (x+L) dx +C_2 = -\frac{x^2}{2} + Lx + C_2$

となります。 $u(0)=0$ より

$\displaystyle 0= C_2$

です。これを代入して結局解は

$\displaystyle u= -\frac{x^2}{2} + Lx$

です。

この解を用いて1次元Poisson方程式に対する有限要素法（Galerkin法）の精度を調べます。