【有限要素法】2次元有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式
今回は、2次元の有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式
を示します。ここで は2次元の三角形要素、 はその面積、、、 は形状関数で、それぞれ
とあらわされます。係数は
で与えられます。 と はそれぞれ三角形要素の頂点の座標です。 これを知っていると積分がサクサクできます。というよりも2次元の場合この公式無しに積分を求めるのは無理です。
まず、、 とおきます。すると、 より とかけるので上式に代入して
を得ます。次に と に関する積分を と に関する積分に変更します。 から への変数変換なのでまずヤコビアンを計算します。すると
となることがわかります。 は頂点1でのみ1をとりその他の頂点で0をとります。他の形状関数も同様です。なので三角形領域 は原点に直角部分がくる の直角三角形の領域になります(頂点1は 軸上長さ1の点に、頂点2は 軸上長さ1の点に、頂点3は原点へと変換されます)。よって
となります。さらに変数変換
を用いて
を得ます。ここで、こちらの記事
で紹介している公式
を使うと
を得ます。これらの式を用いると
を得ます。もう一度上の公式を の積分に対して適用して
となり目的の式を得ます。
1次元有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式はこちらです。
参考
菊地文雄『有限要素法概説』のp.56とpp.148-150
有限要素法概説―理工学における基礎と応用 (FEM+BEM (3))
- 作者: 菊地文雄
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- 発売日: 1999/04/01
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中山司『流れ解析のための有限要素法入門』のpp.47-49とpp.73-85
- 作者: 中山司
- 出版社/メーカー: 東京大学出版会
- 発売日: 2008/04/01
- メディア: 単行本
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