2018-03-13

【有限要素法】有限要素法で局所座標の積分公式を証明する際に用いる定積分の公式

今回は、有限要素法で局所座標の積分公式を証明する際に用いる、定積分の公式

$\displaystyle \int_0^a x^m (a-x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} a^{m+n+1}$

を示します。簡単そうに見えますが、計算するのには一手間かかります。

まず、 $I(m,n)$ を以下の式

$\displaystyle I(m,n)=\int_0^a x^m (a-x)^n dx$

で定義します。漸化式にして求めます。部分積分を一回して

$\displaystyle \begin{eqnarray} I(m,n) &=& \int_0^a \left( \frac{x^{m+1}}{m+1} \right)' (a-x)^n dx \\ &=& \left[ \frac{x^{m+1}}{m+1} (a-x)^n \right]^a_0 - \int_0^a \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot -n(a-x)^{n-1} dx \\ &=& 0 + \frac{n}{m+1} \int_0^a x^{m+1} (a-x)^{n-1} dx \\ &=& \frac{n}{m+1} I(m+1,n-1) \end{eqnarray}$

を得ます。同じように $I(m+1,n-1)$ を部分積分してやると

$\displaystyle I(m+1,n-1) = \frac{n-1}{m+2} I(m+2,n-2)$

となるから、これを最初の式に代入して

$\displaystyle I(m,n) = \frac{n(n-1)}{(m+1)(m+2)} I(m+2,n-2)$

を得ます。あとはこの操作を繰り返して

$\displaystyle I(m,n) = \frac{n(n-1) \cdots 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} I(m+n,0)$

となります。定義に戻って考えると

$\displaystyle I(m+n,0) = \int_0^a x^{m+n} dx =\frac{a^{m+n+1}}{m+n+1}$

だから、結局

$\displaystyle \begin{eqnarray} I(m,n) &=& \frac{n(n-1) \cdots 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} I(m+n,0) \\ &=& \frac{n(n-1) \cdots 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} \frac{a^{m+n+1}}{m+n+1} \\ &=& \frac{m! n!}{(m+n+1)!} a^{m+n+1} \end{eqnarray}$

となり、求めたい値が出てきます。

特に $a=1$ の場合には

$\displaystyle \begin{eqnarray} \int_0^a x^m (a-x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} \end{eqnarray}$

となります。

今後はこの導出した式を使って、有限要素法における、局所座標を用いた一次元の場合の積分公式と二次元の場合（面積座標）の積分公式を示していきます。

1次元有限要素法における面積座標（局所座標）の積分公式はこちらです。

2次元有限要素法における面積座標（局所座標）の積分公式はこちらです。

2018-03-12

【単語帳】"obituary"

語学学習英語語源単語帳

今回は"obituary"「死亡記事、死亡者略歴」という意味の英語の単語です。

"Beyond the technical writings concerning his research, he published only two other pieces: a brief obituary for Rudolf Clausius, one of the founders of the mathematical theory of thermodynamics, and a longer biographical memoir of his mentor at Yale, H. A. Newton."

（研究に関する技術的な著作以外に、彼（Gibbs）は他に二つのものしか書きませんでした。それは、熱力学の数学理論を創った一人であるRudolf Clausiusの短い死亡者略歴と、Yale大学での彼の恩師H. A. Newtonについてのかなり長い伝記的回想録です。）

という、Josiah Willard Gibbs（ギブス）に関する記事中に出てきました。Gibbsの為人は学問を追究したさっぱりとした人物だったようです。かっこいいです。

語源は、ラテン語の"obeō"（会う、向かっていく、死ぬ）から来ているようです。"obeō"は"ob"（ラテン語で「～に向かって」（towards））と"eō"（ラテン語で「行く」）から構成されています。

文章の出典
Josiah Willard Gibbs - Wikipedia

語源の出典
obituary - Wiktionary
obeo - Wiktionary

2018-03-12

【単語帳】"sojourn"

語学学習英語語源単語帳

今回は"sojourn"「滞在する、滞在」という意味の英語の単語です。

"Except for his customary summer vacations in the Adirondacks and later at the White Mountains, his sojourn in Europe in 1866–69 was almost the only time that Gibbs spent outside New Haven."

（慣例となっていたAdirondacksでの夏休みと後年におけるWhite Mountainsでの夏休みを除いて、GibbsがNew Havenの外で過ごしたのは、ほぼ1866年から1869年にかけてのヨーロッパ滞在だけでした。）

という、Josiah Willard Gibbs（ギブス）に関する記事中に出てきました。Gibbsの自由エネルギーで有名なGibbsです。最近科学者の伝記を読むのがマイブームなんです。

語源は、フランス語の"séjour"（滞在）、"séjourner"（滞在する）から来ているようです。

文章の出典
Josiah Willard Gibbs - Wikipedia

語源の出典
sojourn - ウィクショナリー日本語版

2018-03-09

【読書リンク】「日本漢文の世界」

読書リンク語学学習ラテン語漢文

今回は日本人の書いた漢文「日本漢文」を紹介、解説しているサイト「日本漢文の世界」のリンクです。このようなサイトはなかなか無いです。

前回ラテン語の話で出てきましたが、ルネサンス以降のラテン語著作はたくさんあるのに十分に研究されていないそうです。同じことが日本漢文についても言えるのではないでしょうか？江戸時代から明治時代にかけて、ほとんどの優れた著作は漢文、特に日本漢文で書かれています。そしてラテン語と同様にあまり活発に研究されているようには見えません。漢文を勉強して、是非ともこの優れた著作を研究、堪能しようではありませんか！この辺で歯止めをかけないと我々の古文、漢文を読む力はどんどん下がっていき、最終的に専門家にしかアクセスできないようになってしまいます。それは寂しい。ここで我々がこの流れを止めましょう。

というわけで漢文の勉強もぼちぼちしています。

2018-03-09

【ドイツ語読本】"Latein als Wissenschaftssprache der Neuzeit"（新時代の学問の言語としてのラテン語）

ドイツ語読本ドイツ語語学学習ラテン語

"Latein als Wissenschaftssprache der Neuzeit"

Aus der Zeit vom Beginn der Renaissance im 14. Jahrhundert bis zur Gegenwart sind erheblich mehr lateinische Schriften überliefert als aus Antike und Mittelalter zusammen. Dennoch sind viele Texte noch weitgehend unerforscht - eine Tatsache, der die 1971 gegründete International Association for Neo-Latin Studies (IANLS) abhelfen möchte.

Bis weit in die Neuzeit war Latein, was heute Englisch ist: die Sprache der Wissenschaft schlechthin - ob in Philosophie, Theologie, Rechtsprechung, Medizin oder den Naturwissenschaften.

語句

erheblich：相当な、かなりの　dennoch：それにもかかわらず　weitgehend：ほぼ完全に　abhelfen：取り除く、是正する　schlechthin：そのものずばり、完全に　

日本語訳

14世紀のルネサンスのはじまりから現代までに、古代と中世を一緒にしたよりもたくさんのラテン語の著作が伝えられています。それにもかかわらず、たくさんの文献がほぼ完全に研究されていません。これこそが、1971年に創設された"International Association for Neo-Latin Studies (IANLS)"が是正したいと考えていることです。

かなり最近まで、哲学であれ、神学であれ、法学であれ、医学であれ、自然科学であれ、ラテン語はまさに学問の言語でした。今日では英語が学問の言語です。

引用元
https://www.uni-bonn.de/die-universitaet/informationsquellen/presseinformationen/2003/261

参考

2018-03-09

【単語帳】"envisage"

語学学習英語語源単語帳

これから文章を読んでいて気になった単語の意味や語源も調べて載せていきたいと思います。もちろん、英語に限りませんが英語が多くなると思います。昔はノートを作ったりしていたのですが、ブログに書いていくのが一番心理障壁が低そうなのでこうしてみます。

今回は"envisage"「心に描く、想像する、想定する」という意味の英語の単語です。

"He was particularly insecure about his lack of knowledge of Greek and Latin, which were prerequisites, but it turned out not to be as hard for him to learn these as he had envisaged, as the degree of expected mastery was not as high as he had expected."

（彼（Green）は、前提とされている古典ギリシャ語とラテン語の知識が無いことを特に不安に思っていましたが、彼が想像していたよりも期待される習得度は高くなかったので、これらの科目を学ぶことは彼が想定していたよりも難しくないことことがわかりました。）

という、George Green（グリーン）に関する記事中に出てきました。Greenの定理や、Green関数で有名なイギリスの物理学者、数学者です。独学で勉強したえらい人です。

語源は、フランス語の"envisager"から来ているようです。"envisager"は"en"（英語の"in"）と"visage"（フランス語、英語ともに「顔」の意）で構成されており、こちらも「予想する」という意味です。

文章の出典
George Green (mathematician) - Wikipedia

語源の出典
envisage - Wiktionary

2018-03-08

【ドイツ語読本】"Analysis als exakte mathematische Theorie"（なぜ解析学を勉強するのか？）

ドイツ語読本ドイツ語語学学習数学解析学

"Analysis als exakte mathematische Theorie"

Anders als du die Analysis in der Schule kennen gelernt hast, werden wir in diesem Buch die Theorie mathematisch exakt formulieren. Das heißt, dass wir jeden Satz rigoros beweisen und jeden Begriff exakt definieren werden. Am Ende wirst du beispielsweise wissen, wieso die Ableitung von $f(x)=x^{2}$ gleich $2x$ ist und was eine „Ableitung“ überhaupt ist. Wir werden dabei jeden Begriff motivieren, damit du auch weißt, warum wir gewisse Konzepte in der Analysis einführen. Dadurch wirst du nicht nur dein Schulwissen über die Analysis vertiefen, dieses Wissen kann dir auch helfen, komplizierte Probleme der Analysis zu lösen.

語句

beispielsweise：例えば　

専門用語

die Analysis：解析学
der Satz：命題、定理
die Ableitung：導関数

日本語訳

あなたが学校で解析学を学んだのとは違って、私たちはこの本の中でその理論（解析学の理論）を正確に定式化していきます。すなわち、各々の定理を厳密に証明し、各々の概念を正確に定義していきます。最終的に、例えばあなたはなぜ $f(x)=x^{2}$ の導関数が $2x$ になるのか、そして「導関数」とはそもそも何なのか知るでしょう。私たちはその際に、解析学のある概念をなぜ導入するのか、も知ることができるように、各々の概念を導入する理由を説明していきます。そのことを通して、学校で習った解析学の知識を深めるだけではなく、その知識は解析学の複雑な問題を解く助けともなるでしょう。

引用元
Wozu Analysis studieren? – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher

参考