【浅水流方程式】ダム崩壊問題の解析解全パターン！動画付き！

【浅水流方程式】サイトマップ（ここから関連記事が探せます）

前に作った、浅水流方程式におけるダム崩壊問題（dam break problem）の解析解を計算するコードを用いて、水深と流速がどうなるか動画にしていきたいと思います！こういうのは動画のほうがわかりやすいです。Toroの"Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows"が非常に参考になります。

Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows

作者: Eleuterio F. Toro
出版社/メーカー: Wiley
発売日: 2001/03/23
メディア: ハードカバー
この商品を含むブログを見る

ダム崩壊問題（dam break problem）には7パターンの解があります。すなわち、

1. 左側衝撃波、右側衝撃波
2. 左側膨張波、右側衝撃波
3. 左側衝撃波、右側膨張波
4. 左側膨張波、右側膨張波
5. 右側dry bed
6. 左側dry bed
7. dry bedが後から出現

です。さらに、これらはWet bedとDry bedに分けられます。1~4はWet bedで、5~7がDry bedです。Wet bedとは、水深が常に0より大きい場合のことを、Dry bedとは、水深が0になることがある場合のことを言います。

問題設定は「領域の真ん中 $x=0$ にダムがあり、時刻 $t=0$ に取り去られる」となっています。

わかりやすくなるように、以下では水深は青のグラフ、流速は赤のグラフで表示します。

Wet bed

1. 左側衝撃波、右側衝撃波

・初期条件
$h_l = 0.5$ 、 $h_r = 0.5$ 、 $u_l = 1.5$ 、 $u_r = -1.5$
・時間
$t = 1.2$ まで
・結果
"hstar 0.882855
ustar 0
left shock with shock speed -1.95896
right shock with shock speed 1.95896"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404215411g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404215453g:plain:w400 — 流速

2. 左側膨張波、右側衝撃波

・初期条件
$h_l = 1.0$ 、 $h_r = 0.1$ 、 $u_l = 0.0$ 、 $u_r = 0.0$
・時間
$t = 1.2$ まで
・結果
"hstar 0.396175
ustar 2.32017
left rarefaction with head speed -3.1305 and tail speed 0.349762
right shock with shock speed 3.10355"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404212248g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404212332g:plain:w400 — 流速

3. 左側衝撃波、右側膨張波

・初期条件
$h_l = 0.1$ 、 $h_r = 1.0$ 、 $u_l = 0.0$ 、 $u_r = 0.0$
・時間
$t = 1.2$ まで
・結果
"hstar 0.396175
ustar -2.32017
left shock with shock speed -3.10355
right rarefaction with head speed 3.1305 and tail speed -0.349762"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404213053g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404213148g:plain:w400 — 流速

4. 左側膨張波、右側膨張波

・初期条件
$h_l = 0.1$ 、 $h_r = 0.1$ 、 $u_l = -1.5$ 、 $u_r = 1.5$
・時間
$t = 1.2$ まで
・結果
"hstar 0.00587508
ustar 0
left rarefaction with head speed -2.48995 and tail speed -0.239949
right rarefaction with head speed 2.48995 and tail speed 0.239949"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404214548g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404214631g:plain:w400 — 流速

Dry bed

5. 右側dry bed

・初期条件
$h_l = 1.0$ 、 $h_r = 0$ 、 $u_l = 0$ 、 $u_r = 0$
・時間
$t = 0.8$ まで
・結果
"left rarefaction dry bed with head speed -3.1305 and tail speed 6.26099"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404182944g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404203523g:plain:w400 — 流速

6. 左側dry bed

・初期条件
$h_l = 0$ 、 $h_r = 1.0$ 、 $u_l = 0$ 、 $u_r = 0$
・時間
$t = 0.8$ まで
・結果
"right rarefaction dry bed with head speed 3.1305 and tail speed -6.26099"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404204942g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404205539g:plain:w400 — 流速

7. dry bedが後から出現

・初期条件
$h_l = 0.1$ 、 $h_r = 0.1$ 、 $u_l = -3.0$ 、 $u_r = 3.0$
・時間
$t = 0.8$ まで
・結果
"generation of dry bed
left rarefaction dry bed with head speed -3.98995 and tail speed -1.0201
right rarefaction dry bed with head speed 3.98995 and tail speed 1.0201"

f:id:mutsumunemitsutan:20190404210605g:plain:w400 — 水深

f:id:mutsumunemitsutan:20190404211115g:plain:w400 — 流速

こちらもどうぞ

おまけ

使用したスクリプト

//left and right dry bed h//
set terminal gif animate delay 5 optimize size 640,480
set output 'h.gif'
do for [j = 0:79 ] {
   plot [-5.5:5.5][-0.05:1.05] sprintf("gnuplot_h_%d.txt", j) using 2:3 with lines lw 1.5 lc rgb "blue"
}
set out
set terminal wxt enhanced


//right dry bed u//
set terminal gif animate delay 5 optimize size 640,480
set output 'u.gif'
do for [j = 0:79 ] {
   plot [-5.5:5.5][-0.05:6.5] sprintf("gnuplot_u_%d.txt", j) using 2:3 with lines lw 1.5 lc rgb "red"
}
set out
set terminal wxt enhanced


//left dry bed u//
set terminal gif animate delay 5 optimize size 640,480
set output 'u.gif'
do for [j = 0:79 ] {
   plot [-5.5:5.5][-6.5:0.05] sprintf("gnuplot_u_%d.txt", j) using 2:3 with lines lw 1.5 lc rgb "red"
}
set out
set terminal wxt enhanced


//generation of dry bed h//
set terminal gif animate delay 5 optimize size 640,480
set output 'h.gif'
do for [j = 0:79 ] {
   plot [-5.5:5.5][-0.01:0.11] sprintf("gnuplot_h_%d.txt", j) using 2:3 with lines lw 1.5 lc rgb "blue"
}
set out
set terminal wxt enhanced


//generation of dry bed u//
set terminal gif animate delay 5 optimize size 640,480
set output 'u.gif'
do for [j = 0:79 ] {
   plot [-5.5:5.5][-3.2:3.2] sprintf("gnuplot_u_%d.txt", j) using 2:3 with lines lw 1.5 lc rgb "red"
}
set out
set terminal wxt enhanced