【数物リンク】HLL法とHLLC法の解説資料まとめ
浅水流方程式に対する数値計算手法であるHLL法とHLLC法の解説資料まとめです。
9.5にHLLとHLLCの解説
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~akira.mizuta/Mizuta_lecture2_euc_v4.pdf
2にHLL
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jscejhe/69/4/69_107/_pdf/-char/ja
pp.234-235にHLL
http://www.jspf.or.jp/Journal/PDF_JSPF/jspf2007_03/jspf2007_03-228.pdf
pp.75-79にHLL
http://www.icehap.chiba-u.jp/activity/SS2017/textbook/ss2017_miyoshi_MHD.pdf
http://www.astro.phys.s.chiba-u.ac.jp/cans/doc/riemann.html
2.1にHLL、2.2にHLLC 読んでいて気づきましたが、式(17)のminはmaxでしょう。
https://home.hiroshima-u.ac.jp/nakakuki/others/compfluid.pdf
2にHLLC
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jscejhe/72/4/72_I_619/_pdf/-char/ja
3にHLL、4にHLLC
http://astro-wakate.sakura.ne.jp/ss2013/web/syuroku/galaxy_41c.pdf
3.2にHLL、3.3にHLLC
http://133.41.115.15/thesis/bachelor/15kamiura_thesis.pdf
2にHLLとHLLC
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-02565949/document
【浅水流方程式】HLL法でダム崩壊問題を解いてみました(wet bedとdry bed) 動画とC++コード付き
【浅水流方程式】サイトマップ(ここから関連記事が探せます)
http://mathlang.hatenablog.com/entry/2018/12/18/213650
今回は、HLL法(Harten, Lax, van Leer法)を用いてダム崩壊問題(dam break problem)を解いてみました。HLL法とは、波速が最大のものと最小のものだけを考え、3つの状態(左側、右側、star region)を仮定して解く手法です。解いている方程式は、摩擦、勾配なしの1次元浅水流方程式(Shallow Water Equations)です。
初期状態としては、wet bedの場合は、領域のちょうど左側で水深が1.0、領域のちょうど右側で水深が0.1で、水面は静止しているものとします。dry bedの場合は、領域のちょうど左側で水深が1.0、領域のちょうど右側で水深が で、水面は静止しているものとします。このように、dry bedの場合は非常に小さい水深を与えることとします。時刻 に真ん中にあるしきり(ダム)を取り去った時に、水がどのように動くかを計算します。境界条件としては右端、左端で水深、流量ともに斉次のノイマン条件を課しています。
参考文献としてはToroの"Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows"のpp.179-181です。バイブルですね。波速を推定するための手法としては、Exact Depth Positivity Riemann Solver (EDPRS)、Two-Rarefaction Riemann Solver (TRRS)、Two-Shock Riemann Solver (TSRS) を選べるようになっています。
Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows
- 作者: Eleuterio F. Toro
- 出版社/メーカー: Wiley
- 発売日: 2001/03/23
- メディア: ハードカバー
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こちらがwet bedの場合の計算結果です。水深が青い線で表示されています。
右へと進行する衝撃波(不連続な波、Shock wave)と左へと進行する膨張波(連続な波、Rarefaction wave)が観察できます。よい感じです。
こちらがdry bedの場合の計算結果です。
右へと進行する膨張波(連続な波、Rarefaction wave)が観察できます。よい感じです。
一応Youtubeのチャンネルも作ってみました!まあ、上のGif動画と同じものをアップロードしただけですが…
では計算コードです。
#include <iostream> #include <cmath> #include <fstream> #include <iomanip> #include <sstream> using namespace std; const double g=9.8; //celerity// inline double a(double h) { return sqrt(g*h); } //function for TRRS// inline double gk(double h0, double hlr) { return sqrt(g/2.0*(h0+hlr)/(h0*hlr)); } //Riemann Solver Based on Exact Depth Positivity// inline void EDPRS(double &hst, double &ust, double hL, double hR, double qL, double qR) { double aL=a(hL); double aR=a(hR); double uL=qL/hL; double uR=qR/hR; hst=(hL+hR)/2.0-(uR-uL)*(hL+hR)/4.0/(aL+aR); ust=(uL+uR)/2.0-(hR-hL)*(aL+aR)/(hL+hR); } //Two-Rarefaction Riemann Solver// inline void TRRS(double &hst, double &ust, double hL, double hR, double qL, double qR) { double aL=a(hL); double aR=a(hR); double uL=qL/hL; double uR=qR/hR; hst=1.0/g*((aL+aR)/2.0+(uL-uR)/4.0)*((aL+aR)/2.0+(uL-uR)/4.0); ust=(uL+uR)/2.0+aL-aR; } //Two-Shock Riemann Solver// inline void TSRS(double &hst, double &ust, double hL, double hR, double qL, double qR) { double uL=qL/hL; double uR=qR/hR; TRRS(hst,ust,hL,hR,qL,qR); //EDPRS(hst,ust,hL,hR,qL,qR); double hcon=hst; hst=(gk(hst,hL)*hL+gk(hst,hR)*hR+uL-uR)/(gk(hst,hL)+gk(hst,hR)); ust=(uL+uR)/2.0+((hcon-hR)*gk(hcon,hR)-(hcon-hL)*gk(hcon,hL))/2.0; } //function for HLL// inline double qk(double hst, double hlr) { double qk=1.0; if(hst>hlr) qk=sqrt((hst+hlr)*hst/(hlr*hlr)/2.0); return qk; } //left wave estimation// inline double SLeft(double hst, double hL, double qL) { double uL=qL/hL; return uL-a(hL)*qk(hst,hL); } //right wave estimation// inline double SRight(double hst, double hR, double qR) { double uR=qR/hR; return uR+a(hR)*qk(hst,hR); } //flux for continuity equation// inline double Fluxcon(double h, double q) { return q; } //flux for momentum equation// inline double Fluxmom(double h, double q) { return q*q/h+g*h*h/2.0; } //hll flux// inline void HLLFlux(double FLR[], double hL, double hR, double qL, double qR) { double hst,ust; //estimastion of hst and ust// TRRS(hst,ust,hL,hR,qL,qR); //TSRS(hst,ust,hL,hR,qL,qR); //EDPRS(hst,ust,hL,hR,qL,qR); //wave speed estimation// double SL=SLeft(hst,hL,qL); double SR=SRight(hst,hR,qR); if(SL>=0) { FLR[0]=Fluxcon(hL,qL); FLR[1]=Fluxmom(hL,qL); } else if(SR<=0) { FLR[0]=Fluxcon(hR,qR); FLR[1]=Fluxmom(hR,qR); } else { FLR[0]=(SR*Fluxcon(hL,qL)-SL*Fluxcon(hR,qR)+SR*SL*(hR-hL))/(SR-SL); FLR[1]=(SR*Fluxmom(hL,qL)-SL*Fluxmom(hR,qR)+SR*SL*(qR-qL))/(SR-SL); } } inline void output(double h[], int Node, double dx) { stringstream ss; string name; ofstream fo; static int count=0; ss<<count; name=ss.str(); name="h_" + name + ".txt"; fo.open(name.c_str ()); for(int i=0;i<Node;i++) { fo<<dx*float(i)<<" "<<h[i]<<endl; } count+=1; } int main() { const int n=200;//number of cells const int Node=n+1; double L=1.0; double dx=L/double(n); double dt=0.0001; double TotalTime=0.15; int div=10;//for output double q[Node]; double h[Node]; double qn[Node]; double hn[Node]; double FL[2],FR[2]; double InithL=1.0; double InithR=0.1; //IC// for(int i=0;i<Node;i++) { q[i]=0.0; h[i]=InithL; } for(int i=Node/2;i<Node;i++) { q[i]=0.0; h[i]=InithR; } //IC output// output(h,Node,dx); //time step// for(int k=1;double(k)*dt<=TotalTime;k++) { //inner cells// for(int i=1;i<Node-1;i++) { //left flux, between i-1 and i// HLLFlux(FL,h[i-1],h[i],q[i-1],q[i]); //right flux, between i and i+1// HLLFlux(FR,h[i],h[i+1],q[i],q[i+1]); hn[i]=h[i]-dt/dx*(FR[0]-FL[0]); qn[i]=q[i]-dt/dx*(FR[1]-FL[1]); } //BC// //left boundary// hn[0]=hn[1]; qn[0]=qn[1]; //right boundary// hn[Node-1]=hn[Node-2]; qn[Node-1]=qn[Node-2]; //update// for(int i=0;i<Node;i++) { q[i]=qn[i]; h[i]=hn[i]; } //output// if(k%div==0) { output(h,Node,dx); cout<<"t="<<double(k)*dt<<endl; } } return 0; }
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