数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【フランス語】Riemann問題ーその4

続きやっていきましょう。だんだんフランス語のつなぎの接続詞がわかってきました。doncとかalorsとかです。ヨーロッパの言葉は似た単語が多いですが、接続詞のような「つなぎの言葉」は各言語ごとに見た目がまったく違うものを使っているような気がします。こればかりは覚えるしかありません。でも覚えてしまえば何ということはありません。

Le cas général
一般の場合


Dans le cas général, on a  a=a(x,t)={\frac  {df(u)}{du}}=f'(u).

一般の場合には  a=a(x,t)={\frac  {df(u)}{du}}=f'(u) である。


Les lignes caractéristiques du problème sont données par l'équation  dx/dt=f'(u) et le long des caractéristiques on a  du(x(t),t)/dt=0.

問題の特性曲線は方程式  dx/dt=f'(u) で与えられる。特性曲線に沿って  du(x(t),t)/dt=0 が成り立つ。


・Hyperbolicité

・双曲性


Un problème de Riemann est basé sur une équation aux dérivées partielles hyperbolique, et vérifie donc ses propriétés : sa solution est constante le long de ses caractéristiques, les discontinuités se déplacent si elles respectent les conditions de Rankine-Hugoniot, et la rencontre entre deux caractéristiques peut engendrer des chocs dans la solution.

Riemann問題は双曲型の偏微分方程式を元にしており、それゆえ以下のような性質も持つことがわかる。解は特性曲線に沿って一定である、もし不連続がRankine-Hugoniot条件に従うなら不連続は移動する、2つの特性曲線が交わると解に衝撃波が生じることがある。
・déplacer: 位置を変える、移動させる
・respecter: 重んじる、従う
・rencontre: f. 出会い
・entre: の間に、between
・engendre: 生み出す、引き起こす


・Auto-similarité des solutions

・解の自己相似性


La solution du problème de Riemann est une fonction auto-similaire, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire de la forme  \psi \left({\tfrac  {x}{t}}\right); en effet, le fait que la donnée initiale soit constante par morceaux permet de montrer que si  u(x,t) est solution entropique pour une donnée initiale  u_0, alors pour tout  \lambda>0, la fonction  u(\lambda x,\lambda t) est la solution entropique pour la donnée initiale  u_0(\lambda x) = u_0(x).

Riemann問題の解は自己相似な関数である、つまり解が  \psi \left({\tfrac  {x}{t}}\right) のような型で書ける。たしかに与えられた初期データが区分的に定数であるということによって、もし  u(x,t) が初期データ  u_0エントロピー解であるならば、すべての  \lambda>0 に対して、関数  u(\lambda x,\lambda t) は初期データ  u_0(\lambda x) = u_0(x)エントロピー解であることを示すことができる。
・c'est-à-dire que: つまり~ということだ
・fait: m. 事実
・donnée: f. データ
・constante par morceaux: 区分的に定数
・morceau: m. 一片
・montre: 見せる、示す


La fonction  \psi vérifie de plus :
 {\begin{cases}\partial _{\xi }f(\psi (\xi ))&=\xi \psi '(\xi )\\\lim _{{-\infty }}\psi &=u^{-}\\\lim _{{+\infty }}\psi &=u^{+}\end{cases}}

また関数  \psi
 {\begin{cases}\partial _{\xi }f(\psi (\xi ))&=\xi \psi '(\xi )\\\lim _{{-\infty }}\psi &=u^{-}\\\lim _{{+\infty }}\psi &=u^{+}\end{cases}}
を満たす。

【フランス語】Riemann問題ーその3


Riemann問題ーその3やっていきましょう。

Le cas linéaire
線型の場合


Supposons que  f(u)=au, où  a est une constante.

 f(u)=au と仮定する。ここで  a は定数である。


La solution du problème de Riemann scalaire est alors  u(x,t)=u_{0}(x-at), c'est une onde progressive.

スカラーの場合のRiemann問題の解は、この場合  u(x,t)=u_{0}(x-at) となる。これは進行波である。
・alors: その時


On remarque que la vitesse de l'onde est  a={\frac {df(u)}{du}}.

波の速度は  a={\frac {df(u)}{du}} である。
・vitesse: f. 速度


De plus, en supposant que  x=x(t) tel que  {\frac {dx}{dt}} = a, on voit que la solution  u(x(t),t) admet une dérivée constamment nulle en  t.

加えて、 {\frac {dx}{dt}} = a を満たすような  x=x(t) を仮定すると、解  u(x(t),t) は常に  t において偏微分を0とする。
・tel: のような、such


Les lignes  x=x(t) telles que  {\frac{dx}{dt}} = a sont les lignes caractéristiques du problème.

 {\frac {dx}{dt}} = a を満たすような  x=x(t) は問題の特性曲線である。


La solution  u(x,t) est donc constante le long des lignes caractéristiques.

それゆえ解  u(x,t) は特性曲線に沿って定数となる。
・donc: それゆえ
・le long de: に沿って


分かりづらいと思うのでちょっと解説を入れましょう。
移流方程式  \frac {\partial u}{\partial t} + a\frac {\partial u}{\partial x}=0 に対して、 {\frac {dx}{dt}} = a を満たすような  x=x(t) に沿って微分の連鎖率を用いると、
 \frac{d}{dt} \{u(x(t),t)\} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{dt}{dt} = a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0
となる、つまり  u(x(t),t) は一定の値をとります。この性質を用いて双曲型の一階の偏微分方程式を解く方法を特性曲線法といいます。

メモ

In his musical professionalism and open-minded attitude to existing styles he held the mindset of an 18th-century composing performer such as Handel or Mozart, who were anxious to assimilate all national "flavors" of their day into their own compositions, and who always wrote with both first-hand performing experience and a sense of direct social relationship with their audiences.

【フランス語】Riemann問題ーその2

Riemann問題ーその2やっていきます。

Le problème de Riemann scalaire
スカラーに対するRiemann問題


Le problème de Riemann scalaire se pose comme un problème de Cauchy :
 \forall (x,t) \in \Omega \times [0 , +\infty[ \qquad \frac{\partial u}{\partial t} (x,t)+ \frac{\partial f(u)}{\partial x} (x,t)= 0
avec la condition initiale  {\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}.

スカラーに対するRiemann問題はCauchy問題として提起される:
 \forall (x,t) \in \Omega \times [0 , +\infty[ \qquad \frac{\partial u}{\partial t} (x,t)+ \frac{\partial f(u)}{\partial x} (x,t)= 0
ここで初期条件は  {\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)} である。


La fonction  {\displaystyle f} est supposée suffisamment dérivable.

関数  {\displaystyle f} は十分に微分可能であると仮定する。


Pour simplifier, on suppose ici que  {\displaystyle \Omega =]-\infty ,+\infty [} .

簡単のためにここで  {\displaystyle \Omega =]-\infty ,+\infty [} を仮定する。


Le terme « loi de conservation » vient de la remarque suivante : en intégrant l'équation sur le rectangle  {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\times [0,T]} , on obtient :
 \int_{x_1}^{x_2} u(x,T)dx - \int_{x_1}^{x_2} u_0(x) dx = -\int_0^T f(u(x_2,t))dt + \int_0^T f(u(x_1,t))dt,
qui exprime que si l'on regarde  u comme une densité de masse,  f(u) peut être vue comme la fonction flux.

「保存則」という用語は以下のような考察から出てくる:長方形領域  {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\times [0,T]} でその方程式を積分すると、
 \int_{x_1}^{x_2} u(x,T)dx - \int_{x_1}^{x_2} u_0(x) dx = -\int_0^T f(u(x_2,t))dt + \int_0^T f(u(x_1,t))dt
を得る。これは、もし  u を質量密度と見れば、 f(u) は流束関数と見ることができることを示している。

・remarque: f. 注意、指摘、考察
・l'on: onと同じ、フランス語 on に関する用法について - イタリア語 解決済 | 教えて!goo


Comme, d'ordinaire, on suppose que  f(0)=0 et que la fonction  u(x,t) tend vers 0 quand  {\displaystyle x_{1},x_{2}} tendent chacun vers les bornes du domaine, on trouve ainsi
 \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,t) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} u_0(x) dx,
ce qui exprime la conservation de la masse au cours du temps.

いつもと同様に、 f(0)=0 であることと  {\displaystyle x_{1},x_{2}} がそれぞれ領域の境界に近づくとき関数  u(x,t) は0に近づくことを仮定する。したがって
 \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,t) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} u_0(x) dx,
であることが、すなわち一定の期間における質量の保存をあらわすことがわかる。
・d'ordinaire: いつもは
・tendre: に向かう
・vers: の方に
・chacun: それぞれ
・trouver: 見つける
・ainsi: したがって
・ce qui: フランス語文法、ce queの用法を教えて下さい - フランス語 解決済 | 教えて!goo
・cours: m. 流れ、経過

【フランス語】Riemann問題ーその1

今回はフランス語版WikipediaProblème de Riemann — Wikipédia を訳していきましょう。実は私フランス語はちょっとやっただけで活用すら怪しいのです。しかし、今暗記しているドイツ語単語帳『ドイツ語基本語5000辞典』があと三か月程で終わってしまうので次はフランス語単語を覚えようと思い、フランス語のリハビリ(学習)を兼ねてフランス語を訳していきます!この白水社の『基本語5000辞典』にはドイツ語の他に、フランス語、ロシア語、スペイン語とあるのですが、ほぼ全ての単語に例文とその和訳がつけられているという素晴らしい代物です。私もスペイン語以外持っています。もう絶版ですので見つけたら必ず押さえてください。絶対に役に立ちます。私はドイツ語とフランス語は神保町で、ロシア語はAmazonで押さえました。いまだに時々見かけます。飲み会一回パスすれば買えます!

ドイツ基本語5000辞典

ドイツ基本語5000辞典

フランス基本語辞典

フランス基本語辞典

ロシア基本語辞典

ロシア基本語辞典

スペイン基本語5000辞典

スペイン基本語5000辞典

フランス語はまだまだしんどいのでWikipediaの記事は適当に分割していくので悪しからず。あと語釈を自分の復習用のためにつけておくことにします。

Problème de Riemann
リーマン問題


En mathématiques, un problème de Riemann, du nom de Bernhard Riemann, est un problème d'équation aux dérivées partielles de type hyperbolique dont on cherche la solution.

数学において、Bernhard Riemannに因んで名付けられたRiemann問題とは、双曲型の偏微分方程式の解を探す問題のことである。
・dérivée: 微分
・dont: de+先行詞


Cela fait intervenir une propriété appelée loi de conservation.

そのことは保存則と呼ばれる性質と関連している。

・Cela: 指示形容詞・指示代名詞 - 北鎌フランス語講座 - 文法編
・faire intervenir: involve


Le problème de Riemann est un exemple typique utilisé pour la compréhension des équations aux dérivées partielles hyperboliques comme les équations d'Euler car leurs propriétés, comme les chocs ou les ondes de raréfaction, apparaissent comme caractéristiques dans la solution.

Riemann問題はEuler方程式のような双曲型偏微分方程式の理解のために用いられる典型的な例である。なぜならば衝撃波や希薄波といった性質が特性曲線として解にあらわれるからである。
・car: なぜならば
・choc: shock, 衝撃波
・onde: f. 波


Elle donne également une solution exacte dans certains cas non-linéaires complexes.

それは複雑な非線型のある場合にも厳密解を与える。
・également: 同様に


En analyse numérique, les problèmes de Riemann apparaissent de façon naturelle dans l'application de la méthode des volumes finis pour les lois de conservation du fait du cadre discret de l'approximation.

数値解析において、近似の離散的な枠組みのせいで、Riemann問題は有限体積法を保存則への適用する際に自然にあらわれる。
・façon: f. 仕方
・du fait de: のせいで
・cadre: m. 枠組み


Elle est donc largement utilisée dans les calculs numériques pour la dynamique des fluides et la magnétohydrodynamique.

それゆえにそれは流体力学や磁気流体力学数値計算において広く使われている。
・donc: それゆえ
・largement: 広く
・calcul: m. 計算


私もマイナー言語(デンマーク語とかオランダ語)に対する
・5000から10000語レベルの単語帳
・学習用辞書
・初級文法を終わらせた学習者が原文を読むために必要な文法事項を説明する読本
を書いてみたいものです。日本においては英語とその他のメジャーな言語(ドイツ語、フランス語等)を除いて上記のような本はほぼ皆無です。非常に由々しき事態だと思います。マイナー言語の辞書においては「単語に例文とその和訳がつけられていること」は当たり前のことではありません。マイナー言語を勉強していて上記のような本の必要性をひしひしと感じております。是非マイナー言語を学習、研究しているみなさん、本を書いてください!(ブログでも結構です)

集積値

集積値には以下のような定義があります。同値性はほぼ自明なので省略します。

数列 {x_n} のある部分列が a に収束するならば、この a を集積値と呼ぶ。

または

a のどんな近傍にも数列  {x_n} の項が無限に多く存在するとき、この a を集積値と呼ぶ。


参考

田島一郎 『イプシロン-デルタ』P.80あたり

イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20)

イプシロン-デルタ (数学ワンポイント双書 20)

【関数解析】Lax-Milgramの定理(ラックス・ミルグラムの定理)

今回はLax-Milgramの定理(ラックス・ミルグラムの定理)の証明をEvansの名著"Partial Differential Equations"の6.2.1.Lax-Milgram Theoremに従って紹介していきます。Lax-Milgramの定理は弱解の存在と一意性を示す際や、有限要素法の誤差評価の際に威力を発揮します。適宜行間を埋めて紹介していきます。

Lax-Milgramの定理
Hヒルベルト空間、Bヒルベルト空間から実数への双線型写像B: H \times H \to \mathbb Rとする。
B有界かつ強圧的であるとする。すなわち、
|B(x,y)|\leq M\|x\|\|y\|\quad(x,y \in H)\tag{1} \label{1}

C\|x\|^2\leq B(x,x)\quad(x \in H)\tag{2} \label{2}
を満たす定数M,C>0が存在するとする。

以下工事中