【数値計算】Roe平均の見つけ方　－そのアイディア

1, 保存量 $q$ とヤコビアン $f$ をあるパラメータ $z$ で表現する。

2, 保存量とヤコビアンのそのパラメータ $z$ に対するヤコビアン $\frac{\partial q}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial z}$ を計算する。

3,「流束の差=近似ヤコビアン×保存量の差」という関係式 $f(q_i)-f(q_{i-1}) = \hat{A} (q_i - q_{i-1})$ を用いて、パラメータ $z$ によるヤコビアン $\frac{\partial q}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial z}$ の線積分を考える。

4, すると、各々から $f(q_i)-f(q_{i-1}) = \hat{C} (Z_i - Z_{i-1})$ 、 $q_i - q_{i-1} = \hat{B} (Z_i - Z_{i-1})$ という関係式を得る。ただし、ここで $\hat{B}, \hat{C}$ はパラメータ $z$ によるヤコビアン $\frac{\partial q}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial z}$ の線積分である。

5, 3つの式、 $f(q_i)-f(q_{i-1}) = \hat{A} (q_i - q_{i-1})$ 、 $f(q_i)-f(q_{i-1}) = \hat{C} (Z_i - Z_{i-1})$ 、 $q_i - q_{i-1} = \hat{B} (Z_i - Z_{i-1})$ を比べることによって、近似ヤコビアン $\hat{A} = \hat{C}\hat{B}^{-1}$ を得る。