【ナヴィエ・ストークス方程式】岡本久『流体力学と数学』抜書

はじめに

今回は岡本久『流体力学と数学』から抜き書きしていこうとおもいます。「抜書」の部分は全て抜き書きになっています。ご注意ください。
https://mathsoc.jp/publication/tushin/1802/1802okamoto.pdf

抜書

連続体とは，その微少部分と全体の物理的な性質が変わらないものをいう．

かれのプリンキピアの Book II には流体現象の様々な理論が展開されているが，ほとんどすべてが間違いである．

さて，ナヴィエの理論はどのようなものであるのか？ ナヴィエはニュートンやラプラスと同じく，最小単位の粒子を多数（しかし離散的に）考える．そしてその相互作用を適当に仮定してナヴィエ－ストークス方程式を導く．分子動力学原理主義者にはたまらない論文であろうが，読んでみても何も納得できないというのが筆者の感想である．実際，彼の論法だと，液体も固体も区別が付きそうにない．固体の弾性体に対するナヴィエの理論は問題なかろうが，全く同じ論法で流れの基礎方程式を出したとしても，結果が正しいだけであって，そのプロセスは正当化できない．

ナヴィエの論文を読んだ後でストークスを読むと爽やかな気分になるのは筆者だけではあるまい．ストークスは何を仮定し，何を導くべきかがわかっている．ナヴィエと違って，連続体を使うことに何のためらいもないから，論旨は極めて明快である．こうして，非圧縮粘性流体の基礎方程式が由緒あるものとして定まったのが 1849 年である．というふうに考えるのは現代人である．実際にはナヴィエ－ストークス方程式がどの程度正確に物理現象を再現できるのか，疑問に思う人は多かった．ラムの流体力学の教科書である Hydrodynamics はこの道の定番ということになっているが，この教科書の初版（1879 年）では，ナヴィエ－ストークス方程式に全幅の信頼を置いているようには見えない．実験と比較できるようなデータがまだ出ていなかったのであろう．

ナヴィエ－ストークス方程式の解を調べるに当たって，渦度に注目することは重要である．

これからわかるように，渦度分布は連続であるが，鋭く変化している．理論が示しているように，2 次元ナヴィエ－ストークス方程式の解は何回でも微分が可能である．しかし，あたかも C1級ではないかのように見える．これが以外に重要である．つまり，数学者の判決は「2 次元では解は滑らかであり続ける」であるが，実際には渦度の 2 階導関数のノルムは，有限ではあっても極めて大きいという実験的事実がある．あまり巨大になればそれは不連続関数と見た目には変わらないのである．実験や観測にひっかからないくらい大きくなったら，実験的には∞になっているということも可能である．

いわゆる「渦班」というものがある．これは 2 次元オイラー方程式の弱解のひとつで，ある領域で渦度が１，それ以外の領域で０となるものである．この領域の境目は閉曲線になるが，それが時間とともにどう変化するかが問題となる．これをオイラー方程式にしたがって解いてみる．上の図に見える領域が渦度１の領域であり，その外側では渦度はゼロである．最初の小さな（しかし滑らかな）出っ張りが，時間とともにとがり始めるように見える．実際，こうした数値実験が報告された当初，これを「有限時間で境界の曲線が滑らかさを失う」というふうに解釈した人々がいた．だが，しばらくしてこの曲線がすべての時間にわたって 0< t < ∞ 滑らかであることが証明された．こうした現象，すなわち，滑らかであるにもかかわらず特異点であるかのごとく振る舞う点のことを擬特異点と名付けてみた(文献[4])．これが数学的に厳密に定義できるものでは無いが，流体力学を数学と他分野で共同に研究する場合には役立つ概念であろうと信ずる．そもそも乱流も数学的な定義にはなじまない概念であるが，その重要性はいまさら強調するまでもあるまい．オイラー方程式にはこのほかにも渦層や水面波などおもしろい現象が多々存在するのであるが，専門的になりすぎるように思うので，あとは文献に譲りたい．

1991年，私がまだ若かった頃，現在名古屋大学にいる木村芳文氏に誘われてニューメキシコ州のロスアラモス研究所に行ったときのことである．「ルレイの弱解は初期値を与えたときにただ一つしかない」事を『証明した』と称する講演に出くわした．これは，特異点のある無しの問題を回避しながら，ルレイの未解決問題を一部解決したことになり，極めてセンセーショナルなことである．この発表の共著者の一人である○○はベテランの数学者であり，信じるに足るように思えた．私はこれを聞いて友人や師匠の藤田宏先生などに大急ぎで連絡をとったことを昨日のことのように覚えている．しかし，その後，その『証明』には致命的な欠陥があることがわかった．藤田先生曰く「○○も年寄りの冷や水はやめておけばいいんですよ．」この言葉は今でも耳に焼き付いているので，この歳になるとミレニアム問題に挑戦しようという気は萎えてくるのである．1998 年，ベルリンのコングレス(ICM)でも「解けた」という報告が一般講演にあったが，その後どうなったかは聞いていない．当時誰も信用していなかった事だけは事実であろう． いずれにせよ，難しい問題であることは間違いない．これに挑戦できるほど若くはないと思うとき，寂しさを感じるこの頃である．

今井先生の教科書[1]はよくできた教科書である．

今井先生は多くのお弟子さんを育てられたので，日本の理論流体力学はきわめてレベルが高い．私は今井先生のお弟子さんや孫弟子さんから多大の影響を受けてきた．若い頃でも今でも共通する思いは，「流体力学を理論的に研究するときには，数学も物理も数値計算も重要性に差はない．」という信念である．

1991 年にロスアラモスへ行ったとき，著名な物理学者の DC 氏と立ち話をすることができた．そのときに「私は流体力学について研究している．今後は乱流についても研究したい．」というようなことを述べたところ，彼の反応は私の予想外であった．確か，このような感じのアドバイスをもらったのであったと思う．「やめとけ．乱流は悪い問題だ(Turbulence is a bad problem.)．ものすごいエネルギーを費やしてもあまりはかばかしい結果は出てこない．」 ある別の人の言い方はこうであった：「乱流は悪女のようなものだ．魅力的だし，最初は笑顔を振り向けてくれるが，あるとき急に冷たくなって，どれだけ貢いでみても戻ってこない」．こうした「乱流＝悪女」説はそれ以後も聞いたような気がする．数年してから A. Chorin 氏が京都大学に来たときに，彼の乱流の講義を聴いた後，DC 氏の話をした．Chorin 氏は「DC は正しい．私も同じアドバイスをしたかもしれない．」これで私の進路は決まったようなものである．乱流についてはおっかなびっくりでついて行くのではあるが，全身全霊を捧げることにはならなかった．数理流体力学を専門にする人は問題の選択が重要であろうと思う．あまり難しすぎる問題を選ぶと論文は書けない．しかし，物理学的に見て意味のない論文は数学であっても数理流体力学ではない．どのあたりで妥協するかが思案のしどころである．

【デンマーク語読本】Snehvide（白雪姫）

はじめに

今回は、デンマーク語で"Snehvide"（白雪姫）を読んでいきます。原文はドイツ語ですが、デンマーク語で読んでみましょう！原文はこちらで見れます。多言語でグリム童話を学べるいかしたサイトです。

訳をつけるのは大変なので、私がわからなかった単語と熟語の意味だけ書いてあります。しかし、デンマーク語の基礎文法と基礎語彙を習得した方ならば十分読めると思います。単語を調べるのが面倒くさかったり、熟語がよくわからない方におすすめです。あと、所々似た英語とドイツ語の単語を私のわかる範囲で並記しています。参考にしてください。

参考にした辞書は『デンマーク語日本語辞典』、文法書は『デンマーク語の入門』です。

デンマーク語日本語辞典

デンマーク語の入門 (1978年)

あと熟語はオンラインのデンマーク語辞書を参照しました。便利です。
Den Danske Ordbog — ordnet.dk

Snehvide

訳と解説

Det var midt om vinteren, og sneflokkene faldt som dun ned fra himlen. Dronningen sad ved vinduet og syede i en ramme af sort ibentræ, og mens hun syede og syede og kiggede ud på den hvide sne, kom hun til at stikke sig i fingeren, og der faldt tre bloddråber i sneen.
falde：落ちる
dun：ダウン、羽毛

Og da hun så, hvor smukt den røde farve strålede i den hvide sne, tænkte hun: "Gid jeg dog havde et barn, der var så hvidt som sne, så rødt som blod og så sort som ibentræ."

Kort derefter fødte hun en datter, som var hvid og rød med hår så sort som ibentræ.
føde：生む
hvid：白い、英語white
sort：黒い、ドイツ語schwarz
ibentræ：黒檀

Den lille pige blev kaldt Snehvide, og da hun var født, døde dronningen.

Et år efter tog kongen sig en anden hustru.
hustru：妻

Hun var smuk, men stolt og hovmodig, og kunne ikke tåle, at nogen var smukkere end hun.
hovmodig：いばっている、高慢な
tåle：我慢する

Hun havde et spejl, og når hun så sig deri og spurgte: "Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"
deri：その中で
skøn：美しい

svarede spejlet: "Ingen i verden er dejlig som du."

Så var hun tilfreds, for hun vidste, at spejlet talte sandhed.
tilfreds：満足している
ved, vidste, vidst：知る、ドイツ語wissen
sandhed：真実

Snehvide voksede imidlertid til og blev smukkere og smukkere, og da hun blev sytten år, var hun så skøn som den lyse dag, og langt skønnere end dronningen.
imidlertid：しかしながら
langt：さらに

Og da denne en dag spurgte spejlet: "Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"

svarede det: "Dronning, stor er din skønheds glans, men Snehvide er skønnest med ungdommens krans."
glans：耀き
ungdom：青春、英語young
krans：花輪、花の冠

Dronningen blev både gul og grøn af misundelse, og fra nu af hadede hun Snehvide af hele sit hjerte.
gul：黄色の
misundelse：妬み

Hun havde hverken ro dag eller nat, og en morgen kaldte hun på en af jægerne og sagde: "Jeg vil ikke mere se Snehvide for mine øjne. Tag hende med ud i skoven og slå hende ihjel og bring mig lever og lunge."
hverken~eller~：～でも～でもない
ro：休息、平和、英語rest

Jægeren gik med hende, men da han havde løftet dolken, som skulle gennembore Snehvides uskyldige hjerte, begyndte hun at græde og sagde: "Å, du må ikke slå mig ihjel. Jeg skal gå ind i den store skov og aldrig mere komme hjem."
dolk：短剣
græde：泣く
gennembore：突き通す、貫通する
uskyldig：罪の無い

Jægeren fik medlidenhed med hende, fordi hun var så smuk, og sagde: "Gå kun, stakkels barn."
medlidenhed：同情
stakkels：あわれな、かわいそうな

Ved sig selv tænkte han: "Det varer vist ikke længe, før de vilde dyr har ædt dig."
vist：確実に
dyr：獣
過去形で婉曲をあらわす

Men det var dog, som om en sten var faldet fra hans hjerte, fordi han ikke havde dræbt hende.
dræbe：殺す

Da der i det samme kom et ungt vildsvin springende, stak han det ihjel og bragte lever og lunge til dronningen.
i det samme：ちょうどそのとき
svin：豚、ドイツ語Schwein

Kokken måtte salte og koge dem, og hun spiste dem og troede, det var Snehvides.

Nu var det stakkels barn helt alene i den store skov, og hun var så bange, at hun stirrede angst på hvert træ, hun kom forbi.
stirre：見つめる、英語stare

Hun vidste slet ikke, hvad hun skulle gøre, og tilsidst gav hun sig til at løbe af alle kræfter, over spidse stene og gennem tjørnekrat, og de vilde dyr for lige forbi hende uden at gøre hende noget.
til sidst：最終的に
spids：とがった
tjørnekrat：いばら
fare, for, faret：疾走する

Hun løb, så længe hendes ben kunne bære hende, og henimod aften kom hun til et lille hus og gik derind.
henimod：頃（前置詞）

Alting derinde var småt, men så nydeligt og rent, at man ikke kan tænke sig det.

I midten af stuen stod der et bord med en snehvid dug, syv små tallerkener med skeer, gafler og knive, og syv små bægre.
dug：布
tallerk：スープ皿
ske：スプーン
gaffel：フォーク、ドイツ語Gabel
bæger：コップ

Henne ved væggen stod syv små senge med hvide lagener.
henne：あちらへ
seng：ベット
væg：壁
lagen：シーツ

Snehvide var sulten og tørstig og spiste en mundfuld kød og kål af hver tallerken og drak en slurk vin af hvert bæger, for hun ville ikke tage det fra en alene.
sulten：飢えた
tørstig：のどが渇いた
kød：肉
kål：キャベツ
slurk：ひとのみ

Derpå ville hun lægge sig i en af sengene, men den ene var for kort og den anden for lang, den tredje for smal, den fjerde for bred, og således videre, indtil endelig den syvende passede hende.
derpå：それから
videre：さらに、続けて
indtil：まで

Der blev hun så liggende, bad sin aftenbøn og faldt snart i søvn.
bede, bad, bedt：祈る、ドイツ語beten
bøn：祈り

Da det var blevet mørkt kom de syv små dværge, hvem huset tilhørte, hjem fra deres arbejde i bjergene.
mørk：暗い
dværg：小人、英語dwarf
tilhøre：に属する
bjerg：山、ドイツ語Berg

Da de fik tændt lys, så de straks, at der måtte have været nogen, mens de var borte, for tingene stod ikke på deres sædvanlige plads.
tænde：点ける
fikは使役
straks：すぐに
mens＝medens：している間に
borte：行ってしまって、いなくなって（副詞）
sædvanlig：いつもの

"Hvem har siddet på min stol?" sagde den første.

"Hvem har spist af min tallerken?" sagde den anden.

"Hvem har taget mit brød?" sagde den tredie.

"Hvem har spist af min kål?" sagde den fjerde.

"Hvem har brugt min gaffel?" sagde den femte.

"Hvem har skåret med min kniv?" sagde den sjette.
skære, skar, skåret：切る

"Hvem har drukket af mit bæger?" sagde den syvende.

Da en af dem vendte sig om, så han, at der var en fordybning i hans seng.
fordybning：沈下、凹み
fordybe：深くする、英語deep

"Der har været nogen oppe i min seng," sagde han, og da de andre kom derhen råbte de allesammen: "Der har også været nogen i min."
derhen：そこへ
råbe：叫ぶ

Men da den syvende kom hen til sin seng, så han Snehvide.

Han kaldte på de andre, og de kom løbende med deres syv små lys.

"Du gode Gud, hvor hun er dejlig," råbte de og var så glade over hende, at de ikke nænnede at vække hende.
nænne：～する気がある
vække：起こす

Den syvende dværg sov en time hos hver af sine kammerater, og så var natten forbi.
hos：のもとで

Da Snehvide vågnede om morgenen og så de syv dværge, blev hun meget forskrækket, men de var så venlige imod hende, at hun snart blev beroliget.
vågne：目を覚ます
forskrække：驚かせる
imod：に対して
berolige：落ち着かせる

"Hvad hedder du?" spurgte de.

"Snehvide," svarede hun.

"Hvordan er du dog kommet herind?"
hvordan：どのように
herind：ここへ

Hun fortalte dem da, at hendes stedmor havde villet dræbe hende, men jægeren, der skulle gøre det, havde givet hende lov til at løbe sin vej, og så havde hun gået hele dagen lige til hun var kommet hen til det lille hus.

"Hvis du vil holde huset i orden og lave mad og sy og strikke for os," sagde dværgene, "så må du gerne blive her, og vi skal nok være gode imod dig."
lave：準備する
mad：食事
sy：縫う
strikke：編む

Snehvide sagde straks ja og blev hos dem.

Om morgenen gik dværgene ud i bjergene for at arbejde, og når de kom hjem igen om aftenen, havde Snehvide maden færdig til dem.

Hele dagen var hun alene, og dværgene advarede hende ofte og sagde: "Tag dig i agt for din stedmor, hun får nok at vide, at du er her. Lad ingen komme ind til dig."
advare：注意する
agt：注意
får at vide：知るようになる、get to know、下宮グロッサリー

Da dronningen havde spist det, som hun troede var Snehvides lever og lunge, gik hun hen foran spejlet og spurgte:

"Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"

Spejlet svarede: "Ingen i landet er dejlig som du, men Snehvide langt borte bag de syv bjerge, hos de syv små gode, flittige dværge, hun er tusindfold mere dejlig endnu."
bag：後ろに
flittig：勤勉な、ドイツ語fleißig

Da blev hun forfærdet, for hun vidste, at spejlet talte sandhed, og hun mærkede nu, at jægeren havde narret hende.
forfærde：ぎょっとさせる
narre：あざむく

Hun tænkte dag og nat på, hvordan hun skulle komme Snehvide til livs, og endelig fandt hun på råd.
komme til livs：根絶する
råd：助言、解決策、ドイツ語Rat

Hun malede sit ansigt og klædte sig på som en gammel sælgekone, så hun var ganske ukendelig.
klæde：服を着せる
sælge：売る
kone：妻、婦人
ukendelig：認識できない

Derpå gik hun over de syv bjerge til de syv små dværge, bankede på døren og råbte: "Her er billige varer at få."

Snehvide kiggede ud af vinduet og spurgte: "Hvad har I da?" - "Mange gode ting," svarede konen, "se her, smukke snørebånd," og hun viste hende et, der var flettet af broget silke.
snøre：ひも、ひもで結ぶ
flette：編む
broget：多彩な

"Den skikkelige kone kan jeg da nok lukke ind," tænkte Snehvide, gik hen og åbnede døren og købte de smukke bånd.
skikkelig：温厚な
lukke ind：中に入れる

"Men hvordan er det, du ser ud, barn," sagde den gamle, "kom her, så skal jeg snøre dig ordentlig."

Snehvide tænkte ikke noget ondt derved, men stillede sig hen foran konen.
derved：それによって、副詞
stille：置く

Men den gamle snørede så hurtigt og så fast, at Snehvide ikke kunne få vejret og faldt om som død.
vejr：呼吸

"Nu kan du sige, du har været den smukkeste," sagde hun grinende og skyndte sig bort.

Kort efter kom de syv dværge hjem og blev meget forskrækkede, da de så deres kære Snehvide ligge som livløs på gulvet uden at røre sig.
røre：動かす、触れる、ruehren

De løftede hende op, og da de så, hvor fast hun var snøret, skar de båndene itu.
itu：2つに、粉々に

Hun begyndte da at trække vejret ganske svagt, og lidt efter lidt kom hun til sig selv igen.
trække：引っ張る
svag：弱い

Da dværgene hørte, hvordan det var gået til, sagde de: "Det har sikkert været den onde dronning.
sikker：確実に

Tag dig endelig i agt og luk ingen ind, når vi ikke er hjemme."

Da dronningen var kommet hjem, gik hun hen foran spejlet og spurgte: "Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"

Spejlet svarede som sædvanlig: "Ingen i landet er dejlig som du, men Snehvide langt borte bag de syv bjerge, hos de syv små, gode, flittige dværge, hun er tusindfold mere dejlig endnu."
sædvanlig：いつもの

Da hun hørte det, blev hun så forfærdet, at alt blodet strømmede hende til hjertet.
forfærde：脅す

"Nu skal jeg sørge for, at hun for alvor skal komme af med livet," tænkte hun, og ved hjælp af alle slags trolddomskunster lavede hun en forgiftet kam og forklædte sig igen som en gammel kone.
alvor：真剣、まじめ
komme af med：奪う、
komme af med — Den Danske Ordbog
trolddom：魔法
forklæde：変装させる

Derpå gik hun over de syv bjerge til de syv små dværge, bankede på og råbte: "Her er billige varer at få."

Snehvide stak hovedet ud af vinduet og sagde: "Det kan ikke nytte, jeg må ikke lukke op for nogen." - "Du må vel nok have lov til at se på det," sagde den gamle og tog den forgiftede kam frem og viste hende den.
stikke：突っ込む
hoved：頭
nytte：役に立つ

Snehvide syntes så godt om den, at hun lod sig overtale til at lukke op og købe kammen.
syntes om：好む
lade, lod, ladet：～させる、英語let
overtale：説得する

"Nu vil jeg rede dig," sagde den gamle, og Snehvide havde ingen mistanke, men lod hende gøre det.
rede：くしけずる
mistanke：疑い

I samme øjeblik, kammen blev stukket i håret, virkede giften, og Snehvide faldt om som død.

"Nu er det nok ude med dig, min dejlighed," sagde den gamle hånligt og gik sin vej.
det er ude med~：～が殺される、
https://ordnet.dk/ddo/ordbog?query=ude
ude：外に
dejlighed：美しい人、物
hånlig：軽蔑的な

Heldigvis kom de syv dværge hjem et øjeblik efter og fik den forgiftede kam taget ud af hendes hår.
heldigvis：幸運にも
heldig：幸運な

Snehvide kom til sig selv igen og fortalte, hvad der var sket, og de advarede hende igen mod at lukke nogen ind.
ske：起こる
advare：注意する

Da dronningen var kommet hjem, spurgte hun: "Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"

Spejlet svarede igen: "Ingen i landet er dejlig som du, men Snehvide langt borte bag de syv bjerge, hos de syv små, gode, flittige dværge, hun er tusindfold mere dejlig endnu."

Da hun hørte det, rystede hun fra top til tå af raseri.
ryste：振る、よろめく
raseri：激怒

"Snehvide skal dø, om det så skal koste mit liv," råbte hun.

Derpå gik hun ind i et værelse, låsede døren og lavede et forgiftet æble.
værelse：部屋
låse：鍵をかける
lave：準備する

Det var smukt, med røde kinder, og enhver, der så det, måtte få lyst til det, men den, der spiste af det, døde øjeblikkelig.
kind：ほお、あご、chin
enhver：各々
lyst：～したいという気持ち、lust

Dronningen smurte nu sit ansigt ind, klædte sig på som en bondekone og gik over de syv bjerge til de syv små dværge og bankede på.
smøre, smurte, smurt：塗る
bonde：農民、ドイツ語Bauer

"Jeg må ikke lukke op for nogen," sagde Snehvide og stak hovedet ud af vinduet.

"Det er såmænd også ligemeget," svarede bondekonen, "jeg skal nok blive af med mine æbler. Se her, det må du have." - "Nej tak," svarede Snehvide, "jeg må ikke tage imod noget som helst." - "Er du måske bange for, at det skal være giftigt," spurgte den gamle, "nu skærer jeg det over, så får du det røde og jeg spiser det hvide."
såmænd：実際に、たしかに
ligemeget＝lige meget：重要でない、
lige meget — Den Danske Ordbog
ligemeget eller lige meget? - Dansk - Studieportalen.dk
blive af med：を除く、荷をおろす
imod：に対して
måske：恐らく

Æblet var nemlig lavet sådan, at kun den røde side var forgiftet.

Snehvide havde stor lyst til det dejlige æble, og da hun så, at konen spiste deraf, kunne hun ikke modstå, men rakte hånden ud og fik det halve æble.
se, så, sat：見る、気付く
modstå：耐える
række, rakte, rakt：届く、届ける

Næppe havde hun fået det i munden, før hun sank død om på jorden.
næppe：ほとんど～でない
næppe~før~：～するやいなや

Dronningen stod i nogen tid og så ondt på hende, så slog hun en høj latter op og sagde: "Hvid som sne, rød som blod, sort som ibentræ. Denne gang kan dværgene ikke frelse dig."
slå, slog, slået：なぐる、打つ、鳴る
latter：笑い、英語laugh
gang：回、ドイツ語Gang
frelse：救う

Derpå gik hun hjem og spurgte spejlet: "Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"

Og spejlet svarede: "Ingen i verden er dejlig som du."

Nu havde hendes misundelige hjerte ro, for så vidt som et misundeligt hjerte nogensinde kan få ro.
misundelig：妬んでいる、形容詞
ro：休息
for så vidt ：にかんする限りは
nogensinde＝nogen sinde：かつて、いつか

Da dværgene om aftenen kom hjem, fandt de Snehvide liggende død på jorden.

De løftede hende op, og ledte, for at finde noget, der kunne have gjort hende fortræd, snørede hendes liv op, redte hendes hår og vaskede hende med vand og vin, men det hjalp ikke.
lede：探す
fortræd：害
rede：くしけずる
vaske：洗う

Hun var og blev død.

De lagde hende da på en båre og sad i tre dage hos hende og græd.
båre：棺台

De ville nu begrave hende, men hun var så smuk med friske, røde kinder, at de ikke kunne bære over deres hjerter at lægge hende ned i den sorte, kolde jord.
bære over：我慢する

De lavede så en kiste af glas, lagde hende deri og skrev med guldbogstaver hendes navn, og at hun var en kongedatter.
kiste：棺、ドイツ語Kiste（箱）
deri：その中で

Derpå satte de kisten ud på et bjerg og skiftedes til at holde vagt ved den.
skiftes：交代する
vagt：見張り、ドイツ語Wach、英語watch

Dyrene sørgede også over Snehvide, først kom der en ugle, så en ravn og til sidst en due og satte sig ved kisten og græd.
sørge over：嘆き悲しむ
ugle：ふくろう
due：はと、英語dove

Snehvide lå nu i lang, lang tid i kisten og så ud som om hun sov, for hun var endnu så hvid som sne, så rød som blod og så sort som ibentræ.
ligge, lå, ligget：横になる

Engang red imidlertid en kongesøn igennem skoven og kom til dværgenes hus og ville overnatte der.
ride, red, redet：馬に乗る
imidlertid：しかしながら

Han så kisten, hvori Snehvide lå, og læste, hvad der var skrevet på den.

"Sælg mig hende," sagde han til dværgene, "I må få alt, hvad jeg ejer og har." - "Nej," svarede dværgene, "ikke for alverdens guld vil vi sælge hende." - "Forær mig hende da," bad prinsen, "jeg kan ikke leve uden hende. Jeg vil holde hende højt i ære."
sælge：売る、sælgは命令形、英語sell
forære：贈り物をする、forærは命令形
ære：名誉、ドイツ語Ehre

Dværgene fik medlidenhed med ham, og gav ham til sidst lov til at tage kisten med.
medlidenhed：同情

Men da tjenerne bar den over den ujævne vej, snublede en af dem, og derved fik kisten et stød, så det giftige æble for ud af Snehvides mund.
tjener：召使
bære, bar, båret：運ぶ
ujævn：平らでない、英語uneven
snuble：よろめく
derved：それによって
stød：押し、突き
fare, for, faret：突進する、疾走する

Lidt efter kom hun til sig selv igen, åbnede låget og rejste sig op og råbte: "Hvor er jeg dog."
låg：蓋、英語lid
rejse：建てる

Kongesønnen blev ude af sig selv af glæde og fortalte hende, hvordan alt var gået til.
glæde：喜び

"Du er den jeg elsker højest i verden," sagde han, "følg mig til min fars slot og bliv min hustru."
hustru：妻

Snehvide fulgte ham gerne, og der blev truffet store forberedelser til brylluppet.
træffe, traf, truffet：当てる、偶然出会う、準備する
forberede：準備する
forberedelse：準備
bryllup：結婚

Snehvides onde stedmor blev også indbudt, og da hun havde taget sine smukkeste klæder på, gik hun hen foran spejlet og spurgte: "Lille spejl på væggen der, hvem er skønnest i landet her?"
indbyde, indbød, indbudt：招く

Spejlet svarede: "Du er vel dejligst i dette land, men med dronningen aldrig du måle dig kan."
kunne måle sig med：比較できる、
måle — Den Danske Ordbog
måle：測る

Den onde kvinde var ved at dø af raseri, men var tillige så underlig angst, hun vidste ikke selv hvorfor.
tillige：そのうえ、もまた
underlig：不思議な、ドイツ語wunderlig

Først ville hun slet ikke tage til festen, men hendes nysgerrighed efter at se den unge dronning lod hende ikke have ro.
tage：行く
nysgerrighed：好奇心、ドイツ語Neugierig

Da hun kom ind i salen kendte hun straks Snehvide og blev ganske stiv af skræk.
stiv：堅い、英語stiff
skræk：恐怖

Men henne over ilden stod der et par glødende jernsko, dem måtte hun tage på og danse, til hun faldt død om.
henne：あちらに
ild：火
gløde：白熱して輝く

【デンマーク語読本】ナヴィエ・ストークス方程式

はじめに

今回はデンマーク語版Wikipediaより"Navier-Stokes' ligning"（ナヴィエ・ストークス方程式）を読んでいきたいと思います。ナヴィエ・ストークス方程式は流体の支配方程式で工学的、数学的にとても重要です。

Navier-Stokes' ligning

本文

Navier-Stokes' ligning, opkaldt efter Claude-Louis Navier og George Gabriel Stokes, beskriver bevægelsen af fluider (som væsker og gasser). Ligningen er ligeså grundlæggende for Hydrodynamik som f.eks. Newtons love i mekanikken, Maxwells ligninger i Elektromagnetisme og Schrödingers ligning i kvantemekanikken. Navier-Stokes ligningen udtrykker ændring af impuls densitet (impuls per rumfang) og er lig summen af alle de kraft densiteter (kraft per rumfang) der påvirker systemet.

Ligningen har en meget stor betydning da den beskriver et stort udvalg af fysiske systemer og fænomener, der både har akademisk og ingeniør mæssig interesse. Disse kunne inkludere modellering af vejr, ocean strømme, væske flow i lab-on-a-chip systemer, bevægelse af stjerner i galakser, design af biler og flymaskiner, studering af blodstrømme og meget andet.

Udover det fysiske, er ligningen også yderst interessant rent matematisk. På trods af ligningens betydning i en masse vigtige områder, har matematikkerne endnu ikke kunne bevise om der i tre dimensioner altid eksisterer løsninger (eksistens og entydighed) til given grænsebetingelse og i så fald om disse løsninger indeholder singulariteter eller diskontinuiteter. Clay Mathematics Institute har udnævnt dette som et af de syv vigtigste åbne problemer i matematikken, og har udlovet $1.000.000 for en løsning.

訳と解説

Navier-Stokes' ligning, opkaldt efter Claude-Louis Navier og George Gabriel Stokes, beskriver bevægelsen af fluider (som væsker og gasser).
ナヴィエ・ストークス方程式は、Claude-Louis NavierとGeorge Gabriel Stokesにちなんで名づけられており、流体（液体や気体）の運動を記述します。

ligning：方程式
opkalde efter：～の名前をもらって命名する
bevægelse：運動
bevæge：動かす、ドイツ語のbewegen（動かす）
som：like、such as

Ligningen er ligeså grundlæggende for Hydrodynamik som f.eks. Newtons love i mekanikken, Maxwells ligninger i Elektromagnetisme og Schrödingers ligning i kvantemekanikken.
その方程式は、例えば力学におけるNewtonの法則、電磁気学におけるMaxwell方程式、そして量子力学におけるSchrödinger方程式と同様に、流体力学の基礎です。

ligeså：同様に
f.eks.：for eksempel、例えば
lov：法則、法律、英語でlaw
grundlægge：基礎を置く

・ligesåとsomが呼応しています。～と同様に
・パッと見るとNewtons loveが「ニュートンの愛」に見えて混乱しますね。
・grundlæggendeはgrundlæggeの現在分詞です。

Navier-Stokes ligningen udtrykker ændring af impuls densitet (impuls per rumfang) og er lig summen af alle de kraft densiteter (kraft per rumfang) der påvirker systemet.
ナヴィエ・ストークス方程式は、運動量密度（容積あたりの運動量）の変化が系に働くすべての力密度（容積あたりの力）に等しいということをあらわしています。

udtrykke：表現する、ud（外に）＋trykke（押す）、英語のexpress（ex＋press）と同じ
ændring：変化、ドイツ語のändern（変わる、変える）
impuls：運動量
rumfang：容積
lig：形容詞、同様な、等しい
kraft：力、ドイツ語のKraft（力）
der：関係代名詞、主語の場合のみ
påvirke：影響を及ぼす、på（上に、on）＋virke（英語のwork）

Ligningen har en meget stor betydning da den beskriver et stort udvalg af fysiske systemer og fænomener, der både har akademisk og ingeniør mæssig interesse.
その方程式は非常に重要です。なぜならそれは学問的かつ工学的に興味のある、広い範囲の物理的な系や現象を記述するからです。

meget：非常に
betydning：意味、重要、ドイツ語のBedeutung（意味、重要）
udvalg：選択、範囲

• mæssig：ドイツ語の-mäßig（～のやり方で）

Disse kunne inkludere modellering af vejr, ocean strømme, væske flow i lab-on-a-chip systemer, bevægelse af stjerner i galakser, design af biler og flymaskiner, studering af blodstrømme og meget andet.
これらは気候、海流、ナノデバイスの系における液体の流れ、銀河における星の運動、車や飛行機の設計のモデリングや、血流の研究などを含んでいます。

denne, dette, disse：これ
vejr：天気、英語のweather

Udover det fysiske, er ligningen også yderst interessant rent matematisk.
物理に加えて、この方程式は純粋数学的にも特に興味深いものです。

udover：の他に、加えて
yderst：極端に
ydre：外側の
ren：清潔な、ドイツ語のrein（純粋な、きれいな）

På trods af ligningens betydning i en masse vigtige områder, har matematikkerne endnu ikke kunne bevise om der i tre dimensioner altid eksisterer løsninger (eksistens og entydighed) til given grænsebetingelse og i så fald om disse løsninger indeholder singulariteter eller diskontinuiteter.
多くの重要な分野におけるこの方程式の重要性にもかかわらず、3次元において与えられた境界条件にたいして常に解が存在するか（存在と一意性）、その場合これらの解が特異点または不連続を含むか、を数学者たちはいまだに示せていません。

på trods af：にもかかわらず
vigtig：重要な、ドイツ語のwichtig（重要な）
område：領域、分野
om：～かどうか（関節疑問文で）
entydighed：一意性、明白なこと
entydig：明白な、en（ひとつ）＋tydig（形容詞をつくる語尾）
grænse：境界、ドイツ語のGrenze（境界）
betingelse：条件、ドイツ語のBedingung（条件）
fald：ケース、場合、ドイツ語のFall（場合）

・der eksistererで～がある

Clay Mathematics Institute har udnævnt dette som et af de syv vigtigste åbne problemer i matematikken, og har udlovet $1.000.000 for en løsning.
Clay研究所は、これを数学において7つの最も重要な未解決問題のひとつとし、解決に100万ドルの賞金をかけました。

udnævne：指名する
som et af：one of the、～のひとつ
udlove：褒章を提供する

・-stで最上級です。

【ドイツ語読本】吉本隆明

はじめに

今回のドイツ語読本は詩人・評論家の吉本隆明のドイツ語版Wikipediaを読みます。彼の代表作といえば『共同幻想論』でしょう。「しかし、吉本は、国家とは共同の幻想であると説く。人間は、詩や文学を創るように、国家と言うフィクションを空想し、創造したのである。」、「人間は自分の創り出したフィクションである共同幻想に対して、時に敬意を、時に親和を、そして時に恐怖を覚える。」、「その試みは、吉本にとってロシア・マルクス主義からの自立であって、少年期に骨の髄まで侵食された天皇制と言う共同幻想を意識化し、対象化し、相対化しようという試みでもあった。」。

改訂新版 共同幻想論 (角川ソフィア文庫)

Yoshimoto Takaaki

本文

Yoshimoto Takaaki war ein japanischer Lyriker, Literaturkritiker und Philosoph.

Der Sohn eines Schiffszimmermanns studierte von 1944 bis 1947 Elektrochemie an der Technischen Hochschule Tokio. Von 1952 bis 1956 arbeitete er für die Tōyō-Tintenfabrik, von der er wegen gewerkschaftlicher Aktivitäten entlassen wurde. Als Kritiker wurde er 1956 mit einer Schrift über Bungakusha no sensō sekinin (文学者の戦争責任, dt. „Die Kriegsverantwortung der Literaten“) bekannt, die er gemeinsam mit Takei Teruo verfasst hatte.

Anfang der 1960er Jahre engagierte er sich in der Bewegung gegen den Japanisch-amerikanischen Sicherheitsvertrag, zwischen 1968 und 1970 sympathisierte er mit der Studentenbewegung in Japan, auf die er großen Einfluss hatte. Als Philosoph rezipierte er Werke wie die von Marx und Hegel, wobei er sich vom Marxismus kritisch distanzierte. Seit den 1980er Jahren orientierte er sich am französischen Poststrukturalismus. Seine einflussreichsten Werke waren Gengo ni totte bi towa nani ka (言語にとって美とはなにか, „Was ist das Schöne für die Literatur?“; 1965), die Shinteki genjō ron josetsu (心的現象論序説, „Einleitung in die Welt der psychischen Phänomene“; 1971) und die Kyōdō gensō ron (共同幻想論, „Abhandlung über die gemeinschaftlichen Vorstellungen“; 1966–67).

Yoshimoto ist der Vater der Schriftstellerin Yoshimoto Banana und der Mangazeichnerin Haruno Yoiko.

訳と解説

Yoshimoto Takaaki war ein japanischer Lyriker, Literaturkritiker und Philosoph.
吉本隆明は日本の詩人、文芸批評家、哲学者です。

der Lyriker：詩人

Der Sohn eines Schiffszimmermanns studierte von 1944 bis 1947 Elektrochemie an der Technischen Hochschule Tokio.
船大工の息子である彼は1944年から1947年まで東京工業大学で電気化学を勉強しました。

Von 1952 bis 1956 arbeitete er für die Tōyō-Tintenfabrik, von der er wegen gewerkschaftlicher Aktivitäten entlassen wurde.
1952年から1956年まで東洋インキ製造会社で働きましたが、労働組合活動のために解雇されます。

Als Kritiker wurde er 1956 mit einer Schrift über Bungakusha no sensō sekinin (文学者の戦争責任, dt. „Die Kriegsverantwortung der Literaten“) bekannt, die er gemeinsam mit Takei Teruo verfasst hatte.
1956年、彼は著書『文学者の戦争責任』によって批評家として知られるようになりました。その本は武井昭夫と執筆しました。

Anfang der 1960er Jahre engagierte er sich in der Bewegung gegen den Japanisch-amerikanischen Sicherheitsvertrag, zwischen 1968 und 1970 sympathisierte er mit der Studentenbewegung in Japan, auf die er großen Einfluss hatte.
1960年代はじめに、彼は日米安保条約反対運動に参加しました。1968年から1970年の間、彼は日本における学生運動に共感し、多大な影響を与えました。

engagieren：参加する、engage、アンガージュマン

Als Philosoph rezipierte er Werke wie die von Marx und Hegel, wobei er sich vom Marxismus kritisch distanzierte.
哲学者として彼はマルクスやヘーゲルの作品を受容しましたが、マルクス主義とは批判的に距離をとりました。

rezipieren：受容する

Seit den 1980er Jahren orientierte er sich am französischen Poststrukturalismus.
1980年代以降、彼はフランスのポスト構造主義に向かっていきました。

Seine einflussreichsten Werke waren Gengo ni totte bi towa nani ka (言語にとって美とはなにか, „Was ist das Schöne für die Literatur?“; 1965), die Shinteki genjō ron josetsu (心的現象論序説, „Einleitung in die Welt der psychischen Phänomene“; 1971) und die Kyōdō gensō ron (共同幻想論, „Abhandlung über die gemeinschaftlichen Vorstellungen“; 1966–67).
彼の最も影響力のある作品は『言語にとって美とはなにか』、『心的現象論序説』、『共同幻想論』でした。

die Abhandlung：論文

Yoshimoto ist der Vater der Schriftstellerin Yoshimoto Banana und der Mangazeichnerin Haruno Yoiko.
吉本は作家の吉本ばななと漫画家のハルノ宵子の父です。

【ラテン語】オッカムの剃刀

はじめに

オッカムの剃刀とは、「ある事柄を説明するためには、必要以上に多くを仮定するべきでない」とする指針、のことです。オッカム自身は「必要が無いなら多くのものを定立してはならない。少数の論理でよい場合は多数の論理を定立してはならない。」と述べています。今回はこのオッカムの文章のラテン語原文を読んでいきましょう。

文法解析のやり方は山下先生に従っています。

オッカムの剃刀

Pluralitas non est ponenda sine neccesitate.
必要性がないならば複数（の仮定）は置かれるべきでない。

・plūrālitāsは「複数」を意味する第3変化名詞plūrālitās, plūrālitātis, f.の単数・主格
・nonは否定
・estは「である」を意味する不規則動詞sum, esseの直説法・能動態・現在、3人称単数
・pōnendaは「置かれるべき」を意味する、pōnō（置く）の未来分詞・受動態（動形容詞）pōnendusの女性・単数・主格
・sineは「～なしに」を意味する奪格を要求する前置詞
・necessitāteは「必要性」を意味する第3変化名詞necessitās, necessitātis, f.の単数・奪格

Frustra fit per plura, quod potest fieri per pauciora.
少いものによって為されることが可能であることは、多くのものによって無益に為される。
（少いもので可能なことを、多くのものを使ってやっても無益である。）

・frūstrāは「無益に、むなしく」を意味する副詞
・fitは「～する」を意味する第3変化動詞faciōの直説法・受動態・現在、3人称単数　→起こる、なされる
・perは「～によって（手段）」を意味する対格を要求する前置詞
・plūraは「たくさんの」を意味する第3変化形容詞plūsの中性・複数・対格（形容詞の中性形は抽象的な名詞を意味する、つまりたくさんのもの）
・quodは関係代名詞 quī (who, which) の中性・単数・主格（先行詞の省略）
・potestは「できる」を意味する不規則動詞possumの直説法・能動態・現在、3人称単数（不定詞をとる）
・fierīは「～する」を意味する第3変化動詞faciōの不定法・受動態・現在
・pauciōraは「少ない」を意味する第3変化形容詞pauciorの中性・複数・対格（形容詞の中性形は抽象的な名詞を意味する、つまり少ないもの）

参考文献

基本から学ぶラテン語

羅和辞典 <改訂版> LEXICON LATINO-JAPONICUM Editio Emendata

理工書を紹介します（数学、物理、数値計算などなど、漸次追加）

はじめに

今回は理工書を紹介します。

数値計算

河村哲也 著『数値計算入門』
数値解析の全体を概観する本です。ニュートン法、直接法、反復法、固有値問題、補間、数値積分、常・偏微分方程式と基礎的な内容を網羅しています。『英語で学ぶ数値解析』よりとっきやすいと思います。例が充実しており自分のコードを確認できます。アルゴリズのまとめかたがわかりやすく、実装も十分に可能です。数値解析が必要な学生に何か読ませる場合、私なら入門書としてこの本を渡します。理論に深入りしすぎずちょうどよい塩梅です。ただ河村哲也氏の著作で気をつけなければならないのは、ほぼ同じ内容の別名の著作が存在している、ということです。これはかなり複雑なのでまた今度説明しますが、ほぼコピペという箇所、ちょっとだけ違う箇所などあります。ご注意ください。これだけ理解していれば、結構なものが自作できると思います。しかし、偏微分方程式の離散化に関しては他の本を読む必要があります。

数値計算入門 (Computer Science Library 17)

『英語で学ぶ数値解析』
全体像が分かる本です。これだけわかれば組み合わせて自分でコードが書けます。内容は、連立一次方程式、非線型方程式、固有値問題、補間、数値積分、常微分方程式、差分法による偏微分方程式と盛りだくさんです。表紙は日本語ですが中身は英語です。しかし、簡単な英語で書かれておりおすすめです。

英語で学ぶ数値解析

『計算力学　有限要素法の基礎』
有限要素法の本で一番読みやすい本だと思います。固体、流体ともに書いてある点が珍しいです。例が充実しており、離散化した際の行列の値が示されているので自分で離散化した結果と比べることができます。また、定常、非定常ともに載っているのもうれしいです。もっと早くこの本を読みたかったです。本当に至れり尽くせりです。あと紙がよいです。質の悪い紙を使っている本だと線を引くのすら億劫ですが、この本の紙は質がよいです。

計算力学(第2版)-有限要素法の基礎

『流れ解析のための有限要素法入門』
題名の通り有限要素法でNavier-Stokes方程式を離散化することを目的としています。最後まで読むと自分で有限要素法でNavier-Stokes方程式を解けるようになります。2部構成で第1部で離散化の基礎を、第2部でNavier-Stokes方程式をいかに扱うかを説明してくれます。第1部では、有限要素法の紹介、1次元のポワソン方程式に対する離散化、2次元のラプラス方程式に対する離散化、プログラミングの方法、面積座標、非定常問題をやります。第2部では、Navier-Stokes方程式の定式化、様々な解法（直接法、分離解法）、風上有限要素法（SUPG法）、熱流体をやります。1次元のポワソン方程式に対する離散化は、有限要素法の入門として非常に優れています。私が有限要素法のはじめて理解したのはこの本です。実際のプログラミングの方法が書かれている点も便利です。実装につなげやすいです。また、非定常問題に対する記述があるのもうれしいところです。第2部は盛りだくさんです。まさにNavier-Stokes天国です。Navier-Stokes方程式を有限要素法で解く際に重要になるのが速度と圧力に対する補間関数で、この組み合わせが悪いと上手く解けなくなります。それに関しても詳しく説明されています。各要素に対する行列の要素も明記されていてとても便利です。この本の白眉はNavier-Stokes方程式をいかに離散化するかを説明している第8章です。直接法、ペナルティ関数法、疑似圧縮性法、MAC法、SMAC法、SIMPLER法、流速圧力同次緩和法、移流拡散分離解法が載っています。こんなにたくさんNavier-Stokes方程式に対する解法が載っている本は和書では貴重です。MAC法、SMAC法、SIMPLER法の導出も整理されて私のお気に入りです。章末には数値計算例が載っており、かなり詳細な情報が書いてあります。計算例を再現するときに役に立ちます。

流れ解析のための有限要素法入門

『はじめてのCFD』
「はじめての」とありますが初心者向けの本ではなく、中級以上です。移流拡散方程式の離散化をひたすら説明してくれます。様々なスキームを統一的な視点から整理してくれるので、非常に勉強になります。時間進行、移流方程式、拡散方程式、定常・非定常移流方程式と進みます。特性曲線、システム方程式、Riemann不変量、エントロピー解、Rankine-Hugoniot条件、Riemann問題、単調性、単調性保存、衝撃波、膨張波、TVD、Osherスキーム、Roeスキームなど、双曲型方程式を扱う際に必須となる概念が説明されている貴重な和書です。類書は『流体力学の数値計算法』でしょうか。ただし、部分的に読みづらいと感じる箇所があります。私は、あまり圧縮性流体の知識がないのでそう感じるのだと思います。なので、圧縮性流体力学を学んでから読むと理解が深まるのではないでしょうか。この本以上の知識は洋書をあたるしかないです。

はじめてのCFD―移流拡散方程式

『微分方程式による計算科学入門』
常微分方程式の数値計算について解説した本です。Cのプログラム例がついています。全体は4章構成で、オイラー法やルンゲクッタ法などの基礎事項、ハミルトン系に対するシンプレティック数値解法、遅れのある微分方程式の数値解法、そして確率微分方程式の数値解法となっています。シンプレティック、遅延、確率微分方程式の数値解法のいずれをとっても類書はなかなかないので重宝します。アルゴリズムだけでなく、収束性や誤差、安定性など理論的な部分がかなり丁寧に説明されています。最初の章だけでもよくまとまっており読む価値があると思います。常微分方程式の数値計算を扱う方は是非読むことをおすすめします。ちなみに、偏微分方程式は出てこないので注意しましょう。

微分方程式による計算科学入門

数学

『最適化法 数理ファイナンスへの確率解析入門』
ページ数は120でとても薄いですが密度の濃い本です。最適化と数理ファイナンスを概観するのにおすすめです。本書で流れを確認し、分からない箇所を他の本で補いつつ読むと効果的かもしれません。前半は最適化法で川崎英文氏の執筆、後半は数理ファイナンスへの確率解析入門で谷口説男氏執筆という、二大巨頭による本となっています。前半は非線型計画法、凸計画法、線型計画法、離散最適化法を概観します。後半は確率論の基礎、ブラウン運動とマルチンゲール、確率解析、ブラックショールズ方程式を概観します。最適化法の順番は独特です。まず、最も一般的な非線型最適化を解説してから凸計画法、線型計画法と狭めていきます。これは非常におもしろい試みですね。確かにいきなり線型計画法をやると挫折しやすい気がします。数式や定理の意味がたくさん書いてありとてもよいです。参考文献もとても詳しいです。数理ファイナンスのほうはブラックショールズ方程式がゴールで関連する事柄だけ解説されています。確率空間からスタートしてかなり深く書いてありますし（これだけでわかる人がいるのだろうか…）、式変形も丁寧です。最適化法より読むのが難しいですね。

最適化法 数理ファイナンスへの確率解析入門―経済・社会の基盤をになう (現代技術への数学入門)

『これなら分かる最適化数学―基礎原理から計算手法まで』
最適化を勉強したいけれど何から読んだらわからない方におすすめです。著者の金谷氏はわかりやすい本を書くことで定評があり（私の中で）、最適化手法の原理をわかりやすく学ぶことができます。原理（どうしてそのやり方でよいのか）が説明されているのがとてもよいです。この本の内容を理解しておけば、他の専門書へとスムーズに移行できるでしょう。内容は以下の通りです。まず数学準備として、ベクトルや行列の微分、極値、ラグランジュの未定乗数法あたりを詳しく説明してくれます。最適化の数学で詰まる方はこのへんが苦手なことが多いのではないでしょうか。3章では先程学んだ知識を使って、直線探索、ニュートン法、共役勾配法を説明します。4章は最小二乗法です。どのような原理に従っているか理解せずにエクセルで使っている方も多いと思います。そんな方はこの章に従って一度自らの手で最小二乗法を導出してみるとよいと思います。また、特異値分解と一般逆行列、非線型最小二乗法も載っていて盛りだくさんです。5章は統計的最適化です。最尤推定、EMアルゴリズムなどです。最小二乗法が最尤推定になっていることも説明されます。6章は線型計画法です。1章分しかありませんが幾何的な解釈や双対などかなり踏み込んだ説明がなされています。7章は非線型計画法です。分量の関係で非線型計画法はほんの少ししか記述がありません。他の専門書を読む必要があります。8章は動的計画法です。これも主に使い方や応用例を示すだけです。ハミルトン・ヤコビ方程式などについて学ぶには他の専門書を読む必要があります。また、注が充実しており読んでいてハッとすることが多々あります。中・上級者の方でも何らかの発見があると思います。

これなら分かる最適化数学―基礎原理から計算手法まで

物理

『地形現象のモデリング』
地形の共通原理（地形形成のダイナミクス）の探求を目指して、河川、砂丘、雪崩、断層、柱状節理、クレーターなどの地形現象をモデリングしシミュレーションや実験で解析します。第I部では流れによる地形現象を、第II部では破壊による地形現象を扱っています。モデルを使うことによって、時空間のスケールの大きさや時間スケールの大きく異なる複数の現象が同時進行する点を乗り越えようとしています。特に河川のモデリングでは、浅水流方程式とExner方程式を持ちいた河床波の線型安定性解析や蛇行流路の解析が紹介されています。見た目が異なる現象でも数理モデルとして書いてみると似た式になったりするのでとてもおもしろいです。

地形現象のモデリング――海底から地球外天体まで

『ゼロから学ぶ熱力学』
熱力学発展の歴史を交えつつ、基礎的な事項を網羅的に学べる良い本でした。まったく何も知らない状態から、熱力学第一、第二、第三法則、エントロピー、ギブスとヘルムホルツの自由エネルギー、相変化、化学反応、一通り概観することができます。最初に読む熱力学本として優れていると思います。第5章にブラウン運動とBZ反応が載っているのがおもしろいです。BZ反応はあまり解説がないですが、ブラウン運動に関してはアインシュタインの関係式を導出するなどなかなかエキサイティングな流れになっています。ただ、サイクルの扱い方はもう少し説明してほしいところですね（サイクルをうまくつなげてクラウジウスの原理やトムソンの原理をの同値性を示すあたり）。そこは、他の本を見たほうがよいかもしれません。

ゼロから学ぶ熱力学

『単位が取れる熱力学ノート』
非常によく整理されたわかりやすい熱力学本です。高校物理程度の知識から一気に第一、第二法則、エントロピー、ギブスとヘルムホルツの自由エネルギーまで連れていってくれます。合間に挟まれる演習問題が良問でさらに丁寧な解答が本文中にあるのがとてもよいです。カルノーサイクルの扱いが丁寧で、トムソンの原理とクラウジウスの原理の同値性や絶対温度を定義する方法などわかりやすく説明されている点が良いです。エントロピーの導入も違和感なく、実際に手を動かしてエントロピーの変化を計算する問題がたくさんあってためになります。ギブスとヘルムホルツの自由エネルギーの物理的な意味も書いてあります。

単位が取れる熱力学ノート (KS単位が取れるシリーズ)

【有限要素法】1次元移流方程式をSUPG法で解く C++コード付き

はじめに

今回は1次元移流方程式をSUPG（Stremline Upwind Petrov Galerkin）法で解いていきます。今までずっとやろうと思いながらも放置してきましたが、やっとやりました。

1次元移流方程式とは

のような一階の偏微分方程式のことをいいます。ここで、 は溶質の濃度、 は風などによる移流速度です。

SUPG法とは？

SUPG法とは、有限要素法における風上化の一種です。Petrov Galerkin法とは、形状関数とは異なる重み関数を用いる有限要素法のことを言います。風上方向に重み関数を歪ませたのがSUPG法です。移流方程式にたいして通常のGalerkin法を適用すると数値振動が発生することから開発されました。

簡単に離散化を説明します（詳細な離散化は現在執筆中です）。行列で書くと

となります。ここで、 が質量行列、 が移流行列、 が質量行列にたいするSUPG項、 がにたいするSUPG項です。それぞれ、

のような形をしています。つまり、SUPG項は移流行列と拡散行列に適当な係数をかけた形になっています。なので、ガラーキン法で一度離散化していれば楽に計算できます。あとは時間項に対して適当な時間進行を入れればOKです。今回はオイラー法を使います（陰解法にすると数値振動を抑えられます）。

計算結果

今回の計算条件は、移流速度が正 で、初期条件は領域の左端の矩形波（長方形の波）です。以下が計算結果です。青が数値解です。

どうしても最初少し振動するのでコーディングが間違っているのかと思いましたが、どうやらSUPG法単体では、特に衝撃波面（勾配が急な箇所）で完全に振動を抑えられないようです。精度は有限体積法における1次風上差分と同じ、といった感触です。たしか、棚橋氏の本に、「SUPG法とは有限要素法における1次風上差分である」とった趣旨の記述があったと思います。SUPG法で振動を抑えるには別にリミターとか衝撃波補足項を入れる必要があるようです。SUPG法で移流方程式を計算した際にオーバーシュートとアンダーシュートが発生する、という記述が以下の論文にありました。みなさんもご注意下さい。彼らはリミター（カットオフ）を入れて対処しているようです。また、『計算力学』のp.184にある1次元移流方程式や『有限要素法による流れのシミュレーション』のp.56にある2次元移流方程式の例を見ても、オーバーシュートとアンダーシュートが発生しています。解が負にもなり得るというのは嫌ですね。解の非負性と離散最大値原理は満たしていてほしいです。

http://library.jsce.or.jp/jsce/open/00561/2005/3-24_3012f.pdf

C++コード

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <sstream>

using namespace std;

//TDMA//a:diagonal,c:left,b:right,
inline void tdma(double a[], double c[], double b[], double d[], double x[], int size)
{
	int i;
	double *P=new double[size];
	double *Q=new double[size];
	
	//first step//
	P[0]=-b[0]/a[0];
	Q[0]=d[0]/a[0];
	
	//second step//
	for(i=1;i<size;i++)
	{
		P[i]=-b[i]/(a[i]+c[i]*P[i-1]);
		Q[i]=(d[i]-c[i]*Q[i-1])/(a[i]+c[i]*P[i-1]);
	}
	
	//third step, backward//
	x[size-1]=Q[size-1];

	for(i=size-2;i>-1;i=i-1)
	{
		x[i]=P[i]*x[i+1]+Q[i];
	}
	
	delete [] P,Q;
}

inline void mat(double AD[],double AL[],double AR[],double BD[],double BL[],double BR[],double b[],double f[], int &Ele, double &dx, double &Diff, double &dt, double &V, int &Node)
{
	//initialization//
	for(int i=0;i<Node;i++)
	{
		AD[i]=0.0;AL[i]=0.0;AR[i]=0.0;BD[i]=0.0;BL[i]=0.0;BR[i]=0.0;
	}
	
	for(int i=0;i<Ele;i++)
	{
		double time=(2.0/dt);
		double advec=(2.0*abs(V)/dx);
		double tau=1.0/sqrt(time*time+advec*advec);
		
		double the=0.0;

		//A//
		//temporal//
		AD[i]+=dx*2.0/6.0/dt;
		AR[i]+=dx*1.0/6.0/dt;
		AL[i+1]+=dx*1.0/6.0/dt;
		AD[i+1]+=dx*2.0/6.0/dt;

		//SUPG for temporal//
		AD[i]+=-tau*V/2.0/dt;
		AR[i]+=tau*V/2.0/dt;
		AL[i+1]+=-tau*V/2.0/dt;
		AD[i+1]+=tau*V/2.0/dt;

		//advection//
        AD[i]+=the*-V/2.0;
		AR[i]+=the*V/2.0;
		AL[i+1]+=the*-V/2.0;
		AD[i+1]+=the*V/2.0;

		//SUPG for advection//
		AD[i]+=the*tau*V*V/dx;
		AR[i]+=-the*tau*V*V/dx;
		AL[i+1]+=the*-tau*V*V/dx;
		AD[i+1]+=the*tau*V*V/dx;
		
		//B//
		//temporal//
		BD[i]+=dx*2.0/6.0/dt;
		BR[i]+=dx*1.0/6.0/dt;
		BL[i+1]+=dx*1.0/6.0/dt;
		BD[i+1]+=dx*2.0/6.0/dt;

		//SUPG for temporal//
		BD[i]+=-tau*V/2.0/dt;
		BR[i]+=tau*V/2.0/dt;
		BL[i+1]+=-tau*V/2.0/dt;
		BD[i+1]+=tau*V/2.0/dt;
		
		//advection//
		BD[i]-=(1.0-the)*-V/2.0;
		BR[i]-=(1.0-the)*V/2.0;
		BL[i+1]-=(1.0-the)*-V/2.0;
		BD[i+1]-=(1.0-the)*V/2.0;

		//SUPG for advection//
		BD[i]-=(1.0-the)*tau*V*V/dx;
		BR[i]-=(1.0-the)*-tau*V*V/dx;
		BL[i+1]-=(1.0-the)*-tau*V*V/dx;
		BD[i+1]-=(1.0-the)*tau*V*V/dx;
	}
}

inline void boundary(int &bc,double AD[],double AL[],double AR[],double BD[],double BL[],double BR[],double b[],int &Node)
{
	if(bc==1)
	{
		AD[0]=1.0;AR[0]=0.0;BD[0]=1.0;BR[0]=0.0;
		AL[Node-1]=0.0;AD[Node-1]=1.0;BL[Node-1]=0.0;BD[Node-1]=1.0;
	}
	if(bc==2)
	{
		AL[Node-1]=0.0;AD[Node-1]=1.0;BL[Node-1]=0.0;BD[Node-1]=1.0;
	}
	if(bc==3)
	{
		AD[0]=1.0;AR[0]=0.0;BD[0]=1.0;BR[0]=0.0;
	}
}

inline void output(double x[], int Node, double dx)
{
	stringstream ss;
	string name;
	ofstream fo;
	static int count=0;
	
	ss<<count;
	name=ss.str();
	name="answer_" + name + ".txt";
	fo.open(name.c_str ());
	
	for(int i=0;i<Node;i++)
	{
		fo<<dx*double(i)<<" "<<x[i]<<endl;
	}
	fo<<endl;
	
	count+=1;
}

int main()
{
	int i,j;
	int Ele=600;
	int Node=Ele+1;
	double LL=1.0;
	double dx=LL/Ele;
	double dt=0.001;
	double NT=1500;
	double eps=pow(2.0,-50);
	double Diff=0.01;
	double V=0.1;
	int bc=3;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=0.0;
	double N0=0.0;
	double N1=0.0;
    int div=5;
	
	double *b=new double[Node];
	double *x=new double[Node];
	double *xx=new double[Node];
	double *f=new double[Node];
	double *AD=new double[Node];
	double *AL=new double[Node];
	double *AR=new double[Node];
	double *BD=new double[Node];
	double *BL=new double[Node];
	double *BR=new double[Node];
	
	//initial condition//
	for(i=0;i<Node;i++)
	{
		x[i]=0.0;
	}

	for(i=20;i<100;i++)
	{
		x[i]=1.0;
	}

    output(x,Node,dx);
	mat(AD,AL,AR,BD,BL,BR,b,f,Ele,dx,Diff,dt,V,Node);
	boundary(bc,AD,AL,AR,BD,BL,BR,b,Node);
	
	for(i=1;i<=NT;i++)
	{
		//for b//
		if(bc==1)
		{
			b[0]=D0;
			b[Node-1]=D1;
		}
		if(bc==2)
		{
			b[Node-1]=D1;
			b[0]=BD[0]*x[0]+BR[0]*x[1]-N0*Diff;
		}
		if(bc==3)
		{
			b[0]=D0;
			b[Node-1]=BL[Node-1]*x[Node-2]+BD[Node-1]*x[Node-1]+N1*Diff;
		}
		
		for(j=1;j<Node-1;j++)
		{
			b[j]=BL[j]*x[j-1]+BD[j]*x[j]+BR[j]*x[j+1];
		}

		tdma(AD,AL,AR,b,xx,Node);
		for(j=0;j<Node;j++) x[j]=xx[j];
		
		if(i%div==0)
		{
			cout<<i<<endl;
			output(x,Node,dx);
		}
	}
	
	delete[] b,x,xx,f,AD,AL,AR,BD,BL,BR;
	
	return 0;
}

参考文献

最も参考にしたのが、『計算力学(第2版) 有限要素法の基礎』の第7章です。こちらは1次元移流方程式の例が載っています。この本は、有限要素法の入門書の中で一番読みやすい本だと思います。固体、流体ともに書いてある点が珍しいです。例が充実しており、離散化した際の行列の値が示されているので自分で離散化した結果と比べることができます。また、定常、非定常ともに載っているのもうれしいです。他には、『第3版 有限要素法による流れのシミュレーション』の第3章を参考にしました。こちらは2次元移流方程式の例が載っています。

計算力学(第2版)-有限要素法の基礎

第3版 有限要素法による流れのシミュレーション OpenMPに基づくFortranソースコード付