【浅水流方程式】1次元浅水流方程式の導出（勾配と摩擦なし）

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1次元浅水流方程式（Shallow Water Equation, SWE）の導出（勾配と摩擦なし）をします。取りあえず導出すべき1次元浅水流方程式の基本形を書いておきます。要は慣れです。慣れると怖くなくなります。

水平な長方形の一様断面を考えることにします。今回は勾配と摩擦は無しにしましょう。浅水流方程式においては非圧縮性が仮定されています（密度が時間・場所変化しない）。まず、水深と流速で記述した場合は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0 \\ &\frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( hu^2 + \frac{1}{2}gh^2 \right) = 0 \end{eqnarray}$

となります。ここで $t$ は時間、 $x$ は1次元座標、 $h$ は水深、 $u$ は流速、 $g$ は重力加速度です。上の式が連続式で、下の式が運動量方程式です。次に水深と流量を用いて記述する場合です。水深と流量の関係

$\displaystyle \begin{eqnarray} &q = uh \end{eqnarray}$

を用いて上式を変形すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x} = 0 \\ &\frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{q^2}{h} + \frac{1}{2}gh^2 \right) = 0 \end{eqnarray}$

となります。こちらもどうぞ。

さて変数は以下の図のように配置されているとします。

f:id:mutsumunemitsutan:20181218222147j:plain:w400

手前から奥へ向けて（ $x$ 方向へ）水が流れています。各地点の流速 $u(x)$ と水深 $h(x)$ が与えられています。また、水路の幅は $B$ とします。一様断面なので $B$ が一定であることに注意してください。区間 $[x, x+\Delta x]$ を考えます。

まず連続式からいきましょう。要するにこの式は質量保存則をあらわしています。区間 $[x, x+\Delta x]$ における質量の保存を考えます。保存則は

考えている範囲の時間変化量 =
単位時間あたりに入ってくる量 - 単位時間あたりに出ていく量

という関係式から導かれます。物理においてはだいたいこのパターンなのでよく覚えておいてください。まず、区間 $[x, x+\Delta x]$ における質量の時間変化は、水の密度を $\rho$ として（非圧縮性を仮定しているので定数扱い）

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial}{\partial t} \left( h(x) B \Delta x \rho \right) \\ \end{eqnarray}$

と書けます。次に $x$ から単位時間あたりに入ってくる質量は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &h(x) B u(x) \rho\\ \end{eqnarray}$

であり、 $x+\Delta x$ から単位時間あたりに出ていく質量は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &h(x+\Delta x) B u(x+\Delta x) \rho \\ \end{eqnarray}$

と書けます。これは $x$ において以下の図のような水の塊が流れ込んでくるからです。

f:id:mutsumunemitsutan:20181218224124g:plain:w200

高さが $h(x)$ で、 $x$ 方向の奥行が $u(x)$ の水の塊です。 $x$ 方向の奥行が $u(x)$ になるのは、単位時間で考えているからです。流速 (m/s) × 1 (s) = 距離 (m) のようになっています。 $x+\Delta x$ からは高さが $h(x+\Delta x)$ で、 $x$ 方向の奥行が $u(x+\Delta x)$ の水の塊が出ていきます。さて、これで保存則の要素が揃いました。関係式に代入すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial}{\partial t} \left( h(x) B \Delta x \rho \right) = h(x) B u(x) \rho - h(x+\Delta x) B u(x+\Delta x) \rho \\ \end{eqnarray}$

となります。定数である $B, \rho$ で両辺を割ってから右辺を左辺に移項し、 $\Delta x$ で割ると

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial h(x)}{\partial t} + \frac{h(x+\Delta x) u(x+\Delta x)-h(x) u(x)}{\Delta x} = 0 \\ \end{eqnarray}$

を得ます。 $\Delta x \to 0$ の極限をとると、微分の定義より

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0 \\ \end{eqnarray}$

が得られます。これが連続式です！

次に運動量方程式を導出します。運動量方程式は運動量保存則のことです。

区間 $[x, x+\Delta x]$ における質量の保存を考えます。

参考
E. F. Toro, Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows, 第2章
R. J. Leveque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 第13章
R. Szymkiewicz, Numerical Modeling in Open Channel Hydraulics, 第1章