【浅水流方程式】1次元浅水流方程式の基本形 - 数学とか語学とか楽しいよね

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1次元浅水流方程式（Shallow Water Equation, SWE）を勉強していきましょう！そのために、まず1次元浅水流方程式の基本形を書いておきたいと思います。

水平な長方形の一様断面を考えることにします。浅水流方程式においては非圧縮性が仮定されています（密度が時間・場所変化しない）。まず、水深と流速で記述した場合は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial (hu)}{\partial x} = 0 \\ &\frac{\partial (hu)}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( hu^2 + \frac{1}{2}gh^2 \right) = 0 \end{eqnarray}$

となります。ここで $t$ は時間、 $x$ は1次元座標、 $h$ は水深、 $u$ は流速、 $g$ は重力加速度です。上の式が連続式で、下の式が運動量方程式です。次に水深と流量を用いて記述する場合です。水深と流量の関係

$\displaystyle \begin{eqnarray} &q = uh \end{eqnarray}$

を用いて上式を変形すると

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\frac{\partial h}{\partial t} + \frac{\partial q}{\partial x} = 0 \\ &\frac{\partial q}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{q^2}{h} + \frac{1}{2}gh^2 \right) = 0 \end{eqnarray}$

となります。こちらの式は保存量で書かれており、数値計算ではこちらのほうがよく用いられている気がします。

次にこれらの式をベクトルでまとめておきます。まず、水深と流速の式は

です。次に、水深と流量の式は

となります。 $\mathbf{U}$ は保存量、 $\mathbf{F}$ はフラックス（流束）と呼ばれます。ベクトル形式はよく出てくるので慣れておきましょう。

次に、勾配と摩擦がある場合の式を書きます。まず、水深と流速の式は

です。ここで $z$ は河床の基準面からの高さ、 $n$ はマニングの粗度係数です。下の式の右辺第一項が勾配で、第二項が摩擦をあらわしています。流れの向きと逆方向に摩擦が働くように絶対値が付いています。次に水深と流量を用いて記述する場合は

となります。

次にこれらの式もベクトルでまとめておきます。まず、水深と流速の式は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\mathbf{U} = \left( \begin{array}{c} h \\ hu \end{array} \right), \quad \mathbf{F} = \left( \begin{array}{c} hu \\ hu^2 + \frac{1}{2}gh^2 \end{array} \right), \quad \mathbf{S} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -gh\frac{\partial z}{\partial x} - g\frac{n^2 u |u|}{h^{\frac{4}{3}}} \end{array} \right)\\ &\mathbf{U}_t + \mathbf{F}(\mathbf{U})_x = \mathbf{S} \\ \end{eqnarray}$

です。次に、水深と流量の式は

$\displaystyle \begin{eqnarray} &\mathbf{U} = \left( \begin{array}{c} h \\ q \end{array} \right), \quad \mathbf{F} = \left( \begin{array}{c} q \\ \frac{q^2}{h} + \frac{1}{2}gh^2 \end{array} \right), \quad \mathbf{S} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -gh\frac{\partial z}{\partial x} - g\frac{n^2 q |q|}{h^{\frac{10}{3}}} \end{array}\right)\\ &\mathbf{U}_t + \mathbf{F}(\mathbf{U})_x = \mathbf{S} \\ \end{eqnarray}$

となります。

参考
E. F. Toro, Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows, 第2章
R. J. Leveque, Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems, 第13章
R. Szymkiewicz, Numerical Modeling in Open Channel Hydraulics, 第1章