数学とか語学とか楽しいよね

フランス語、ドイツ語、ロシア語、アラビア語、オランダ語、英語、スペイン語、ラテン語とか数学とか数値計算(有限要素法、有限体積法、差分法、格子ボルツマン法、数理最適化、C++コード付き)とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。noteにも書いています。https://note.mu/kumag_min

【差分法】MAC法で風上差分を用いてNavier-Stokes方程式を解きました C++コード付き

MAC法(Maker And Cell method)で風上差分を用いてNavier-Stokes方程式を数値的に解いてみました。前回は中心差分で解いたので、今回は風上差分を入れてみました。以下を参照してください。


離散化は以下を見てください。河村哲也著『流体解析の基礎』のpp.65-71も非常に参考になります。

流体解析の基礎

流体解析の基礎


計算条件ですが、正方形のサイズは1×1、上部の壁は右へ速さ1で移動、節点数は31×31、セル数は30×30、レイノルズ数は100であるとしています。

計算結果です。

f:id:mutsumunemitsutan:20181201005459p:plain:w500

グラデーションが圧力をあらわしています。緑が圧力が小さい、青が中間、赤が圧力が高いことをあらわしています。黒い線は各セルにおける流速ベクトルを示しています。黒い丸が付いている方向へと流れています。黒い丸だけの所は流れが無いと考えて下さい。中心差分とは微妙に違う結果です。一次の風上差分は安定して計算できますが、数値粘性が大きく流れそのものを変えてしまう恐れもあるので、気を付けてください。

ではコードです。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <sstream>

using namespace std;

inline void rhspoi(int xn, int yn, double u[], double v[], double &uwall, double &divv, double r[], double &dx, double &dy, double &dt)
{
	int i,j;
	double udiv,vdiv;
	double ux,uy,vx,vy;
	double umid,vmid;
	
	//BC for left and right//
	for(j=0;j<yn+1;j++)
	{
		u[1*(yn+1)+j]=0.;
		u[0*(yn+1)+j]=u[2*(yn+1)+j];
		v[0*(yn+2)+j]=-v[1*(yn+2)+j];
		
		u[xn*(yn+1)+j]=0.;
		u[(xn+1)*(yn+1)+j]=u[(xn-1)*(yn+1)+j];
		v[xn*(yn+2)+j]=-v[(xn-1)*(yn+2)+j];
	}
	v[0*(yn+2)+yn+1]=-v[1*(yn+2)+yn+1];
	v[xn*(yn+2)+yn+1]=-v[(xn-1)*(yn+2)+yn+1];
	
	//BC for bottom and top//
	for(i=0;i<xn+1;i++)
	{
		v[i*(yn+2)+1]=0.;
		v[i*(yn+2)+0]=v[i*(yn+2)+2];
		u[i*(yn+1)+0]=-u[i*(yn+1)+1];
		
		v[i*(yn+2)+yn]=0.;
		v[i*(yn+2)+yn+1]=v[i*(yn+2)+yn-1];
		u[i*(yn+1)+yn]=2.0*uwall-u[i*(yn+1)+yn-1];//for wall
	}
	u[(xn+1)*(yn+1)+0]=-u[xn*(yn+1)+0];
	u[(xn+1)*(yn+1)+yn]=-u[xn*(yn+1)+yn];
	
	divv=0.;
	//r.h.s. of Poisson equation
	for(i=1;i<xn;i++)
	{
		for(j=1;j<yn;j++)
		{
			//x//
			if(u[i*(yn+1)+j]>=0)
			{
				ux=(u[(i+1)*(yn+1)+j]-u[i*(yn+1)+j])/dx;
			}
			else
			{
				ux=(u[i*(yn+1)+j]-u[(i-1)*(yn+1)+j])/dx;
			}
			
			vmid=(v[i*(yn+2)+j]+v[i*(yn+2)+j+1]+v[(i-1)*(yn+2)+j+1]+v[(i-1)*(yn+2)+j])/4.0;
			if(vmid>=0)
			{
				uy=(u[i*(yn+1)+j+1]-u[i*(yn+1)+j])/dy;
			}
			else
			{
				uy=(u[i*(yn+1)+j]-u[i*(yn+1)+j-1])/dy;
			}
			
			//y//
			umid=(u[i*(yn+1)+j]+u[(i+1)*(yn+1)+j]+u[(i+1)*(yn+1)+j-1]+u[i*(yn+1)+j-1])/4.0;
			if(umid>=0)
			{
				vx=(v[(i+1)*(yn+2)+j]-v[i*(yn+2)+j])/dx;
			}
			else
			{
				vx=(v[i*(yn+2)+j]-v[(i-1)*(yn+2)+j])/dx;
			}
			
			if(v[i*(yn+2)+j]>=0)
			{
				vy=(v[i*(yn+2)+j+1]-v[i*(yn+2)+j])/dy;
			}
			else
			{
				vy=(v[i*(yn+2)+j]-v[i*(yn+2)+j-1])/dy;
			}
			
			udiv=(u[(i+1)*(yn+1)+j]-u[i*(yn+1)+j])/dx;
			vdiv=(v[i*(yn+2)+j+1]-v[i*(yn+2)+j])/dy;
			divv+=fabs(udiv+vdiv);
			r[i*(yn+1)+j]=-ux*ux-2.0*vx*uy-vy*vy+1.0/dt*(udiv+vdiv);
		}
	}
}

inline void poi(int &km, int xn, int yn, double p[], double &dx, double &dy, double r[], double &err, double &re, double u[], double v[])
{
	int i,j,k;
	double C1=0.5*dy*dy/(dx*dx+dy*dy);
	double C2=0.5*dx*dx/(dx*dx+dy*dy);
	double C3=0.5*dy*dy/(1.+dy*dy/(dx*dx));
	double pres;
	
	//Poisson equation//
	for(k=1;k<=km;k++)
	{
		err=0.;
		//Neumann BC//
		for(j=0;j<yn+1;j++)
		{
			p[0*(yn+1)+j]=p[1*(yn+1)+j]-1.0/re*2.0*u[2*(yn+1)+j];
			p[xn*(yn+1)+j]=p[(xn-1)*(yn+1)+j]+1.0/re*2.0*u[(xn-1)*(yn+1)+j];
		}
		
		for(i=0;i<xn+1;i++)
		{
			p[i*(yn+1)+0]=p[i*(yn+1)+1]-1.0/re*2.0*v[i*(yn+2)+2];
			p[i*(yn+1)+yn]=p[i*(yn+1)+yn-1]+1.0/re*2.0*v[i*(yn+2)+yn-1];
		}
		
		//iteration//
		for(i=1;i<xn;i++)
		{
			for(j=1;j<yn;j++)
			{
				pres=C1*(p[(i+1)*(yn+1)+j]+p[(i-1)*(yn+1)+j])+C2*(p[i*(yn+1)+j+1]+p[i*(yn+1)+j-1])-C3*r[i*(yn+1)+j]-p[i*(yn+1)+j];
				err+=pres*pres;
				p[i*(yn+1)+j]=pres+p[i*(yn+1)+j];
			}
		}
		
		if(err<=0.000005) break;
	}
}

inline void vel(int xn, int yn, double u[], double v[], double &dx, double &dy, double &dt, double p[], double &re)
{
	int i,j;
	double udif,vdif;
	double umid,vmid;
	double uux,vuy,uvx,vvy;
	
	//u//
	for(i=2;i<xn;i++)
	{
		for(j=1;j<yn;j++)
		{
			if(u[i*(yn+1)+j]>=0)
			{
				uux=u[i*(yn+1)+j]*(u[(i+1)*(yn+1)+j]-u[i*(yn+1)+j])/dx;
			}
			else
			{
				uux=u[i*(yn+1)+j]*(u[i*(yn+1)+j]-u[(i-1)*(yn+1)+j])/dx;
			}
			
			vmid=(v[i*(yn+2)+j]+v[i*(yn+2)+j+1]+v[(i-1)*(yn+2)+j+1]+v[(i-1)*(yn+2)+j])/4.0;
			if(vmid>=0)
			{
				vuy=vmid*(u[i*(yn+1)+j+1]-u[i*(yn+1)+j])/dy;
			}
			else
			{
				vuy=vmid*(u[i*(yn+1)+j]-u[i*(yn+1)+j-1])/dy;
			}
			
			udif=(u[(i+1)*(yn+1)+j]-2.0*u[i*(yn+1)+j]+u[(i-1)*(yn+1)+j])/dx/dx+(u[i*(yn+1)+j+1]-2.0*u[i*(yn+1)+j]+u[i*(yn+1)+j-1])/dy/dy;
			u[i*(yn+1)+j]=u[i*(yn+1)+j]+dt*(-uux-vuy-(p[i*(yn+1)+j]-p[(i-1)*(yn+1)+j])/dx+1.0/re*udif);
		}
	}
	
	//v//
	for(i=1;i<xn;i++)
	{
		for(j=2;j<yn;j++)
		{
			umid=(u[i*(yn+1)+j]+u[(i+1)*(yn+1)+j]+u[(i+1)*(yn+1)+j-1]+u[i*(yn+1)+j-1])/4.0;
			if(umid>=0)
			{
				uvx=umid*(v[(i+1)*(yn+2)+j]-v[i*(yn+2)+j])/dx;
			}
			else
			{
				uvx=umid*(v[i*(yn+2)+j]-v[(i-1)*(yn+2)+j])/dx;
			}
			
			if(v[i*(yn+2)+j]>=0)
			{
				vvy=v[i*(yn+2)+j]*(v[i*(yn+2)+j+1]-v[i*(yn+2)+j])/dy;
			}
			else
			{
				vvy=v[i*(yn+2)+j]*(v[i*(yn+2)+j]-v[i*(yn+2)+j-1])/dy;
			}
			
			vdif=(v[(i+1)*(yn+2)+j]-2.0*v[i*(yn+2)+j]+v[(i-1)*(yn+2)+j])/dx/dx+(v[i*(yn+2)+j+1]-2.0*v[i*(yn+2)+j]+v[i*(yn+2)+j-1])/dy/dy;
			v[i*(yn+2)+j]=v[i*(yn+2)+j]+dt*(-uvx-vvy-(p[i*(yn+1)+j]-p[i*(yn+1)+j-1])/dy+1.0/re*vdif);
		}
	}
}

int main()
{	
	const int xn=31;
	const int yn=31;
	int i,j,l;
	double divv;
	double err;
	double *u=new double[(xn+2)*(yn+1)];
	double *v=new double[(xn+1)*(yn+2)];
	double *p=new double[(xn+1)*(yn+1)];
	double *r=new double[(xn+1)*(yn+1)];//for r.h.s. of Poisson equation
	double uwall=1.;
	double dx=1./(double)(xn-1);
	double dy=1./(double)(yn-1);
	double dt=0.001;
	double re=100;
	int lm=20000;
	int km=100;

	ofstream fk,ff;
	fk.open("vel.txt");
	ff.open("pre.txt");

	//initialization//
	for(i=0;i<xn+1;i++)
	{
		for(j=0;j<yn+1;j++)
		{
			p[i*(yn+1)+j]=0.;
		}
	}
	
	for(i=0;i<xn+2;i++)
	{
		for(j=0;j<yn+1;j++)
		{
			u[i*(yn+1)+j]=0.;
		}
	}
	
	for(i=0;i<xn+1;i++)
	{
		for(j=0;j<yn+2;j++)
		{
			v[i*(yn+2)+j]=0.;
		}
	}
	
	//time step//
	for(l=1;l<=lm;l++)
	{
		rhspoi(xn,yn,u,v,uwall,divv,r,dx,dy,dt);
		poi(km,xn,yn,p,dx,dy,r,err,re,u,v);
		
		if(l%1000==0) cout<<l<<" "<<err<<" "<<divv<<endl;
		
		vel(xn,yn,u,v,dx,dy,dt,p,re);
	}
	
	//output
	for(i=1;i<xn;i++)
	{
		for(j=1;j<yn;j++)
		{
			fk<<double((i-0.5)*dx)<<" "<<double((j-0.5)*dy)<<" "<<(u[i*(yn+1)+j]+u[(i+1)*(yn+1)+j])/2.0<<" "<<(v[i*(yn+2)+j]+v[i*(yn+2)+j+1])/2.0<<endl;
        	ff<<double((i-0.5)*dx)<<" "<<double((j-0.5)*dy)<<" "<<p[i*(yn+1)+j]<<endl;
		}
	}
	
	delete[] u,v,p,r;
	
	return 0;
}


SMAC法+中心差分