【有限要素法】Cole-Hopf変換による1次元Burgers方程式（バーガース方程式）の解析解

1次元Burgers方程式

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}-D \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0$

の解析解を求めます。『偏微分方程式の数値シミュレーション』のpp.219-220と以下のリンクを参照しています。

偏微分方程式の数値シミュレーション

作者: 登坂宣好,大西和栄
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 1991/04
メディア: 単行本
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ステップ1

まず、

$\displaystyle u = \frac{\partial \psi}{\partial x}$

とおきこれを代入すると

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t \partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}-D \frac{\partial^3 \psi}{\partial x^3}=0$

を得ます。この第二項目を書きかえると

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t \partial x}+\frac{\partial}{\partial x} \left[ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)^2 \right] -D \frac{\partial^3 \psi}{\partial x^3}=0$

となるので

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial \psi}{\partial t}+ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)^2 -D \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \right) =0$

を得ます。とりあえず積分定数を0として $x$ で積分して

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t}+ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)^2-D\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} =0$

となります。

ステップ2

次に

$\displaystyle \psi = -2D \ln \phi$

とおきます。この時点で

$\displaystyle u = \frac{\partial \psi}{\partial x} = -2D\frac{\partial (\ln \phi)}{\partial x} = -2D \frac{\partial}{\partial \phi}(\ln \phi) \frac{\partial \phi}{\partial x} = -2D \frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

という変数変換を行ったことになります。これをCole-Hopf変換（コール・ホップ変換）と呼びます。 $\psi$ の偏微分をそれぞれ計算します。

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial t} = -2D\frac{\partial}{\partial t} (\ln \phi) = -2D\frac{\partial}{\partial \phi} (\ln \phi)\frac{\partial \phi}{\partial t} = -2D\frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial t}$

$\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial x} = -2D\frac{\partial}{\partial x} (\ln \phi) = -2D\frac{\partial}{\partial \phi} (\ln \phi)\frac{\partial \phi}{\partial x} = -2D\frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x}$

$\displaystyle \begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right) = -2D\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} \right) = -2D\left[ \frac{\partial}{\partial x} \right( \frac{1}{\phi} \left) \frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right] \\ = -2D\left[ \frac{\partial}{\partial \phi} \right( \frac{1}{\phi} \left) \frac{\partial \phi}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x} + \frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right] = -2D\left[ -\frac{1}{\phi^2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 + \frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right] \end{eqnarray}$

これらをステップ1の最後の式に代入します。

$\displaystyle \begin{eqnarray} &&\frac{\partial \psi}{\partial t}+ \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)^2-D\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} \\ &=&-2D\frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{1}{2}\left( -2D\frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 +2D^2 \left[ -\frac{1}{\phi^2} \left( \frac{\partial \phi}{\partial x} \right)^2 + \frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}\right]\\ &=&-2D\frac{1}{\phi}\frac{\partial \phi}{\partial t} +2D^2 \frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}=0 \end{eqnarray}$

すなわち