数学とか語学とか楽しいよね

フランス語、ドイツ語、ロシア語、オランダ語、英語、スペイン語、ラテン語とか数学とか数値計算(有限要素法、有限体積法、差分法、格子ボルツマン法、数理最適化、C++コード付き)とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。noteにも書いています。https://note.mu/kumag_min

【有限要素法】1次元Burgers方程式(バーガース方程式)をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は1次元Burgers方程式(バーガース方程式)を有限要素法(Galerkin法)で解いていきます。C++コード付きです。1次元Burgers方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に五番目に解くべき方程式です。この問題を解くことで非線型の場合の扱いを学びます。ただし今回は風上化は入れていません。

1次元Burgers方程式とは

 \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}-D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0, \quad x \in [0, L]

のような偏微分方程式のことをいいます。ここで、 u(t,x) は熱や溶質の濃度、 D は拡散の効果を表す拡散係数と解釈することができます。初期条件は  f(x) で与えられます。1次元非定常移流拡散方程式との違いは移流項の前にかかっている係数です。1次元非定常移流拡散方程式ではこの係数は定数でしたが、1次元Burgers方程式ではこの係数は解そのものとなっており、ここが非線型項になっています。 u は時間方向と空間方向ともに変化するので二変数関数  u(t,x) となっています。非線型項の処理としてはPicard反復(ピカード反復ないしはピカール反復、前者は英語読みで後者はフランス語読み。Picardはフランス人。)を使って線型化したBurgers方程式を内部反復を入れて解いています。ここで書くと長くなるので別記事で書きます。境界条件は前回と同じく3パターン用意しました。すなわち、

Case 1,  x=0 x=L でDirichlet条件を課す
 u(t,0) u(t,L) の値を指定)
Case 2,  x=0 でNeumann条件、 x=L でDirichlet条件を課す
 \frac{ \partial u }{ \partial x }(t,0) u(t,L) の値を指定)
Case 3,  x=0 でDirichlet条件、 x=L でNeumann条件を課す
 u(t,0)\frac{ \partial u }{ \partial x }(t,L) の値を指定)

です。それぞれコード上ではbc=1、bc=2、bc=3に対応しています。連立一次方程式の解法はGauss-Seidel法またはTDMAを用いています。好きなほうを選べます。詳しくは以下の記事を参考にして下さい。

空間方向の離散化はGalerkin法、時間方向は  \theta 法で離散化しており、今回は  \theta=0.5 のCrank-Nicolson法を用いています。ちなみに、 \theta=0 のとき前進Euler法(陽解法、explicit scheme)に、 \theta=1 のときに後退Euler法(完全陰解法、implicit scheme)になります。これらについても今後まとめる予定です。

計算条件については以下のように設定しています。まず、Burgers方程式を解く領域は  x\in[0,1]、要素数は100、節点数は101で等分割( \Delta x=1/100)、時間刻みは  \Delta t=0.001、計算終了時刻は  t=1、拡散係数は  D=0.01 \theta=0.5境界条件はbc=1(両側Dirichlet条件)で  u(t,0)=0 u(t,1)=0、初期条件はsin波で、式で書くと  f(x)=\sin(\frac{\pi x}{L}) です。初期時刻にsin波の分布を与え、両側での値を0に固定した場合に、波がある時間にどのような分布をとるか、という問題です。答えは"Answer_****.txt"(****にはステップ数が入る)に出力されます。100ステップごとに値が出力されます。一行目が  x 座標、二行目がその時刻における  u の分布となっています。

コードです。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <string>
#include <sstream>

using namespace std;

inline void GS(double AD[],double AL[],double AR[],double x[],double xx[],double b[], int &Node, double &eps)
{
	int i,k;
	double in,max;
	
	for(k=0;k<100000;k++)
	{
		max=0.0;
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			in=xx[i];
			xx[i]=(b[i]-(AL[i]*xx[i-1]+AR[i]*xx[i+1]))/AD[i];
			if(max<abs(in-xx[i])) max=abs(in-xx[i]);
		}
		
		if(eps>max) break;
	}
}

//TDMA//a:diagonal,c:left,b:right,
inline void tdma(double a[], double c[], double b[], double d[], double x[], int size)
{
	int i;
	double *P=new double[size];
	double *Q=new double[size];
	
	//first step//
	P[0]=-b[0]/a[0];
	Q[0]=d[0]/a[0];
	
	//second step//
	for(i=1;i<size;i++)
	{
		P[i]=-b[i]/(a[i]+c[i]*P[i-1]);
		Q[i]=(d[i]-c[i]*Q[i-1])/(a[i]+c[i]*P[i-1]);
	}
	
	//third step, backward//
	x[size-1]=Q[size-1];

	for(i=size-2;i>-1;i=i-1)
	{
		x[i]=P[i]*x[i+1]+Q[i];
	}
	
	delete [] P,Q;
}

inline void mat(double AD[],double AL[],double AR[],double BD[],double BL[],double BR[],double b[],double f[], int &Ele, double &dx, double &Diff, double &dt, double &theta, double x[], int &Node)
{
	int i;
	double VE;
	
	//initialization//
	for(i=0;i<Node;i++)
	{
		AD[i]=0.0;AL[i]=0.0;AR[i]=0.0;BD[i]=0.0;BL[i]=0.0;BR[i]=0.0;
	}
	
	for(i=0;i<Ele;i++)
	{
		
		
		VE=(x[i]+x[i+1])/2.0;
		
		//A//
		//teporal//
		AD[i]+=dx*2.0/6.0/dt;
		AR[i]+=dx*1.0/6.0/dt;
		AL[i+1]+=dx*1.0/6.0/dt;
		AD[i+1]+=dx*2.0/6.0/dt;
		
		//diffusion//
		AD[i]+=theta*Diff/dx;
		AR[i]+=theta*-Diff/dx;
		AL[i+1]+=theta*-Diff/dx;
		AD[i+1]+=theta*Diff/dx;
		
		//advection//
		AD[i]+=theta*-VE/2.0;
		AR[i]+=theta*VE/2.0;
		AL[i+1]+=theta*-VE/2.0;
		AD[i+1]+=theta*VE/2.0;
		
		//B//
		//temporal//
		BD[i]+=dx*2.0/6.0/dt;
		BR[i]+=dx*1.0/6.0/dt;
		BL[i+1]+=dx*1.0/6.0/dt;
		BD[i+1]+=dx*2.0/6.0/dt;
		
		//diffusion//
		BD[i]+=-(1.0-theta)*Diff/dx;
		BR[i]+=-(1.0-theta)*-Diff/dx;
		BL[i+1]+=-(1.0-theta)*-Diff/dx;
		BD[i+1]+=-(1.0-theta)*Diff/dx;
		
		//advection//
		BD[i]+=-(1.0-theta)*-VE/2.0;
		BR[i]+=-(1.0-theta)*VE/2.0;
		BL[i+1]+=-(1.0-theta)*-VE/2.0;
		BD[i+1]+=-(1.0-theta)*VE/2.0;
	}
}

inline void boundary(int &bc,double AD[],double AL[],double AR[],double BD[],double BL[],double BR[],double b[],int &Node)
{
	if(bc==1)
	{
		AD[0]=1.0;AR[0]=0.0;BD[0]=1.0;BR[0]=0.0;
		AL[Node-1]=0.0;AD[Node-1]=1.0;BL[Node-1]=0.0;BD[Node-1]=1.0;
	}
	if(bc==2)
	{
		AL[Node-1]=0.0;AD[Node-1]=1.0;BL[Node-1]=0.0;BD[Node-1]=1.0;
	}
	if(bc==3)
	{
		AD[0]=1.0;AR[0]=0.0;BD[0]=1.0;BR[0]=0.0;
	}
}

inline void text(int &i,double x[], double &dx, int &Node)
{
	int j;
	
	stringstream ss;
	string name;
	ofstream fo;
	
	ss<<i;
	name=ss.str();
	name="Answer_" + name + ".txt";
	fo.open(name.c_str ());
	
	for(j=0;j<Node;j++)
	{
		fo<<dx*float(j)<<" "<<x[j]<<endl;
	}
}

int main()
{
	int i,j,k;
	int Ele=100;
	int Node=Ele+1;
	double LL=1.0;
	double dx=LL/Ele;
	double dt=0.001;
	double NT=1000;
	double eps=pow(2.0,-50);
	double eps2=pow(10.0,-10);
	double Diff=0.01;
	double theta=0.5;
	int bc=1;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=0.0;
	double N0=0.0;
	double N1=0.0;
	double max;
	double *b=new double[Node];
	double *x=new double[Node];
	double *xx=new double[Node];
	double *f=new double[Node];
	double *AD=new double[Node];
	double *AL=new double[Node];
	double *AR=new double[Node];
	double *BD=new double[Node];
	double *BL=new double[Node];
	double *BR=new double[Node];
	double *xr=new double[Node];
	
	ofstream fk;
	fk.open("Answer_0.txt");
	
	//initial condition//
	for(i=0;i<Node;i++)
	{
		x[i]=sin(4.0*atan(1.0)/LL*float(i)*dx);
		fk<<dx*float(i)<<" "<<x[i]<<endl;
	}
	
	
	for(i=1;i<=NT;i++)
	{ 
		//preserve x^n//
		for(j=0;j<Node;j++) xr[j]=x[j];
		
		//Picard iteration//
		for(j=0;j<100000;j++)
		{
			mat(AD,AL,AR,BD,BL,BR,b,f,Ele,dx,Diff,dt,theta,x,Node);
			boundary(bc,AD,AL,AR,BD,BL,BR,b,Node);
			
			//for b//
			if(bc==1)
			{
				b[0]=D0;
				b[Node-1]=D1;
			}
			if(bc==2)
			{
				b[Node-1]=D1;
				b[0]=BD[0]*xr[0]+BR[0]*xr[1]-N0*Diff;
			}
			if(bc==3)
			{
				b[0]=D0;
				b[Node-1]=BL[Node-1]*xr[Node-2]+BD[Node-1]*xr[Node-1]+N1*Diff;
			}
			
			for(k=1;k<Node-1;k++)
			{
				b[k]=BL[k]*xr[k-1]+BD[k]*xr[k]+BR[k]*xr[k+1];
			}
	
			//GS or TDMA//
			//GS(AD,AL,AR,x,xx,b,Node,eps);
			tdma(AD,AL,AR,b,xx,Node);
			
			max=0.0;
			for(k=0;k<Node;k++)
			{
				if(max<abs(x[k]-xx[k])) max=abs(x[k]-xx[k]);
			}
			for(k=0;k<Node;k++) x[k]=xx[k];
			
			if(eps2>max) break;
		}
		
		if(i%100==0)
		{
			cout<<i<<endl;
			text(i,x,dx,Node);
		}
	}
	
	delete[] b,x,xx,f,AD,AL,AR,BD,BL,BR,xr;
	
	return 0;
}


以下が計算結果の図です。初期に与えたsin波の分布が時間が経過するにつれてどんどんなまりつつ右へと流されていく様子が観察できます。その際値が大きいところほど右へ動く速度が速く、だんだん波が切り立つようになっていく様子が観察できます。

f:id:mutsumunemitsutan:20181023204834p:plain

非線型」という用語の意味は「線型でない」なので非線形問題を一括りにするのは不可能です。ケースバイケースで対応しなければなりません。非線型偏微分方程式の一例としてFisher-KPP方程式があります。この場合はソース項が二次で非線型となっています。


1次元のBurgers方程式はCole-Hopf変換によって解析的に解ける場合があります。


離散化の詳細はお待ちください。