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【数値計算】有限要素法で局所座標の積分公式を証明する際に用いる定積分の公式

今回は、有限要素法で局所座標の積分公式を証明する際に用いる、定積分の公式


 \displaystyle \int_0^a x^m (a-x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} a^{m+n+1}

を示します。簡単そうに見えますが、計算するのには一手間かかります。


まず、 I(m,n) を以下の式


 \displaystyle I(m,n)=\int_0^a x^m (a-x)^n dx

で定義します。漸化式にして求めます。部分積分を一回して

 
\displaystyle 
\begin{eqnarray} 

I(m,n) &=& \int_0^a \left( \frac{x^{m+1}}{m+1} \right)' (a-x)^n dx \\
          &=& \left[ \frac{x^{m+1}}{m+1} (a-x)^n \right]^a_0 - \int_0^a  \frac{x^{m+1}}{m+1} \cdot -n(a-x)^{n-1} dx \\
          &=& 0 + \frac{n}{m+1} \int_0^a x^{m+1} (a-x)^{n-1} dx \\
          &=& \frac{n}{m+1} I(m+1,n-1)

\end{eqnarray}

を得ます。同じように  I(m+1,n-1) を部分積分してやると

 
\displaystyle

I(m+1,n-1) = \frac{n-1}{m+2} I(m+2,n-2)

となるから、これを最初の式に代入して

 
\displaystyle

I(m,n) = \frac{n(n-1)}{(m+1)(m+2)} I(m+2,n-2)

を得ます。あとはこの操作を繰り返して

 
\displaystyle

I(m,n) = \frac{n(n-1) \cdots 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} I(m+n,0)

となります。定義に戻って考えると

 
\displaystyle

I(m+n,0) = \int_0^a x^{m+n} dx =\frac{a^{m+n+1}}{m+n+1}

だから、結局

 
\displaystyle
\begin{eqnarray} 

I(m,n) &=& \frac{n(n-1) \cdots 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} I(m+n,0) \\
          &=& \frac{n(n-1) \cdots 1}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} \frac{a^{m+n+1}}{m+n+1} \\
          &=& \frac{m! n!}{(m+n+1)!} a^{m+n+1}

\end{eqnarray}

となり、求めたい値が出てきます。

特に  a=1 の場合には


 
\displaystyle
\begin{eqnarray} 

\int_0^a x^m (a-x)^n dx = \frac{m! n!}{(m+n+1)!} 

\end{eqnarray}

となります。


今後はこの導出した式を使って、有限要素法における、局所座標を用いた一次元の場合の積分公式と二次元の場合(面積座標)の積分公式を示していきます。