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【ドイツ語】Rolleの定理(ロルの定理)

今日はRolleの定理(ロルの定理)のドイツ語版Wikipedia Satz von Rolle – Wikipedia を訳していきます。Rolleの定理は非常に地味な感じなのですが、平均値の定理やTylorの定理へとつながっていく大事な定理です。

Satz von Rolle
Rolleの定理


Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Rolleの定理(フランスの数学者Michel Rolleに因む)は微分法において中心的な定理である。

Aussage
命題

・Aussage: 命題、statement


Seien  a < b und  f:[a,b]\to \mathbb{R} eine stetige Funktion, die im offenen Intervall  (a,b) differenzierbar ist.

 a < b とし、  f:[a,b]\to \mathbb{R} を開区間  (a,b)微分可能な連続関数とする。
・stetige Funktion: 連続関数


Erfüllt sie  f(a)=f(b), so gibt es eine Stelle  x_{0}\in (a,b) mit
 f'(x_{0})=0.

もし  f(a)=f(b) ならば、 f'(x_{0})=0 を満たすような  x_{0}\in (a,b) が存在する。
・この倒置は仮定を表す、wennの省略。ドイツ語・動詞の位置 - 主文においては第二位と決まっていて、文... - Yahoo!知恵袋

Interpretation
解釈


Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion [x: f] gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, wo die Steigung gleich null ist.

これは以下のことをはっきりと意味している。関数 [x: f] のグラフにおいて、関数の値が一致する二点間において少なくともひとつ勾配が0と等しくなる点が存在する。
・anschauich: 目に見えるような、はっきりとした
・übereinstimmend: 一致した
・Steigung: f. 勾配


An dieser Stelle liegt die Tangente waagrecht und damit parallel zur x-Achse.

この点で接線は水平であり、故にx軸に対して平行になる。
・waagrecht: 水平の


Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

したがってこの定理は、微分可能な関数が0となるような点の間には微分が0になる点が存在する、ということを特に意味している。
・besagen: 意味する


Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine Erweiterung des Satzes von Rolle.

微分法における平均値の定理はRolleの定理の拡張である。
・Erweiterung: f. 拡張
・Mittelwert: m. 平均値


Da sich der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen lässt, sind beide Sätze äquivalent.

平均値の定理はRolleの定理を用いて証明されるので、両定理は同値である。

Beweis
証明


Da  f über dem kompakten Intervall  [a, b] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle  m\in [a,b] ein Minimum und an einer Stelle  M\in [a,b] ein Maximum an.

コンパクトな区間  [a, b] において  f が連続ならば、 [a, b] は(Weierstraßの定理により)ある点  m\in [a,b] で最小値をとり、ある点  M\in [a,b] で最大値をとる。


Ist  f nicht konstant, so muss wegen  f(a)=f(b) mindestens  m\in (a,b) oder  M\in (a,b) gelten.

もし  f が定数でないならば、 f(a)=f(b) なので少なくとも  m\in (a,b) または  M\in (a,b) が成り立つ。


Diese Extremalstelle sei mit  x_{0} bezeichnet.

この極値 x_{0} とする。


Ist  f konstant, so ist  x_{0}={\frac  {a+b}2} eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls  (a,b).

もし  f が定数ならば、極値区間  (a,b) に入るように  x_{0}={\frac  {a+b}2} とする。


Ist die innere Extremalstelle  x_{0} eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von  f an der Stelle  x_{0}, dass
 f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0
 f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0.
Somit ist  f'(x_{0})=0.

内部の極値  x_{0} が最大値ならば、 x_{0} における  f微分可能性から
 f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0
 f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0
が成り立つ。故に  f'(x_{0})=0 となる。


Ist  x_{0} eine Minimalstelle von  f, so ist  x_{0} eine Maximalstelle von  -f und wir erhalten  -f'(x_{0})=0 und somit  f'(x_{0})=0.

もし  x_{0} f の最小値ならば、 x_{0} -f の最大値であり、 -f'(x_{0})=0 が成り立つ。故に f'(x_{0})=0 となる。


Rolleの定理の重要性に私が気付かされたのは瀬山士郎の『「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内』のお蔭です。この本は大学初年度の微積分学、解析学ではまりやすい部分を丁寧に説明している快著です。一回生の頃の私にこの本を渡してあげたいです。そうしていれば今頃数学がばりばりできるようになっていたかも。是非ご一読下さい。

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内


他には金子晃の『数理系のための基礎と応用 微分積分〈1〉―理論を中心に』でL'Hôpitalの定理を導くためのCauchyの平均値の定理の導出に使われていたことが印象に残っています。