数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【ドイツ語版Wikipedia】Riemann問題ーその3

これで【ドイツ語】Riemann問題シリーズは終わりです。やはり付け焼刃のフランス語よりも曲りなりに2、3年続けているドイツ語のほうが訳しやすいですね。継続は力なりというやつです。

Linearer Fluss
線型の流束

Für den folgenden linearen Fluss:
 {\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}
sst sich die analytische Lösung berechnen.

以下のような線型の流束
 {\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}
に対して解析解が計算できる。


Für hyperbolische Probleme ist die Matrix  A immer diagonalisierbar:
 {\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}
mit einer Basistransformationsmatrix  {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}}.

双曲型の問題では行列  A は基底変換行列  {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}} を用いて
 {\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}
のようにつねに対角化可能である。


Mit der Transformation  {\displaystyle W:=T^{-1}U} kann man die PDE entkoppeln:
 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}

変数変換  {\displaystyle W:=T^{-1}U} を用いてその偏微分方程式を以下のように分解することができる。
 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}
・entkoppeln: 分解する、decouple


Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der  i. Zeile der PDE nur noch Ableitungen von  W_{i} vorkommen.

この場合分解とは偏微分方程式 i 番目の行には  W_{i}偏微分だけが存在することを意味する。
・die Ableitung: 偏微分
・vorkommen: 起こる、存在する


Jede einzelne Gleichung entspricht einer linearen, skalaren Transportgleichung und somit ist die Lösung einfach zu bestimmen:
 {\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t)}.

各方程式は線型のスカラーに対する輸送方程式であり、したがって簡単に解を定めることが出来る。
 {\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t)}
・somit: だから、したがって
・entsprechen: 一致する、correspond


Rücktransformation ergibt nun die gesuchte Lösung:
 {\displaystyle U(x,t)=TW(x,t)}.

逆変換によって探していた解を得る。
 {\displaystyle U(x,t)=TW(x,t)}


Man kann die Lösung auch anders erhalten, indem man den Sprung der Anfangswerte in der neuen Basis darstellt:
 {\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{mit }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} },
wobei die  {\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}} die Eigenvektoren von  A sind (also:  {\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})}).

初期値のジャンプを新しい基底で表現することによって、他の方法でも解を得ることが出来る。
 {\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{with }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} }
ここで  {\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}} A固有ベクトルである(すなわち  {\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})})。
・indem: することによって、接続詞


Nun ist die Lösung gegeben als:
 {\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}}.

解はこのようになる。
 {\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}}


最後の話はこの記事だけからは理解できないですね。Toroの赤の書2章に詳しく書いてあります。そのうち自分でRiemann問題の解説を書きたいと考えています。

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction

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