数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【ドイツ語版Wikipedia】Riemann問題ーその2

見返してみたら【ドイツ語】Riemann問題も全部訳し終わってないですね。ドイツ語のほうのRiemann問題も進めていきましょう。Wikipediaの記事は専門的な内容だと英語版を翻訳してものが多い印象ですね。日本語の記事も丸々英語の翻訳であることがあります。

Erhaltungsgleichung in nD
N次元における保存方程式


Als wichtige hyperbolische partielle Differentialtialgleichung kann man Erhaltungsgleichungen des folgenden Typs betrachten:
 {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}
wobei  {\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}} und  {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} gilt.

重要な双曲型偏微分方程式として以下のような型の保存方程式を考えることが出来る。
 {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}
ここで  {\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} である。
・betrachten: 考察する


Bei dem Riemann-Problem gilt nun für den Anfangswert:
 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}}
für  {\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}}.

 {\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}} とするとき、Riemann問題に対して初期値は
 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}}
である。