数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【フランス語】Riemann問題ーその3


Riemann問題ーその3やっていきましょう。

Le cas linéaire
線型の場合


Supposons que  f(u)=au, où  a est une constante.

 f(u)=au と仮定する。ここで  a は定数である。


La solution du problème de Riemann scalaire est alors  u(x,t)=u_{0}(x-at), c'est une onde progressive.

スカラーの場合のRiemann問題の解は、この場合  u(x,t)=u_{0}(x-at) となる。これは進行波である。
・alors: その時


On remarque que la vitesse de l'onde est  a={\frac {df(u)}{du}}.

波の速度は  a={\frac {df(u)}{du}} である。
・vitesse: f. 速度


De plus, en supposant que  x=x(t) tel que  {\frac {dx}{dt}} = a, on voit que la solution  u(x(t),t) admet une dérivée constamment nulle en  t.

加えて、 {\frac {dx}{dt}} = a を満たすような  x=x(t) を仮定すると、解  u(x(t),t) は常に  t において偏微分を0とする。
・tel: のような、such


Les lignes  x=x(t) telles que  {\frac{dx}{dt}} = a sont les lignes caractéristiques du problème.

 {\frac {dx}{dt}} = a を満たすような  x=x(t) は問題の特性曲線である。


La solution  u(x,t) est donc constante le long des lignes caractéristiques.

それゆえ解  u(x,t) は特性曲線に沿って定数となる。
・donc: それゆえ
・le long de: に沿って


分かりづらいと思うのでちょっと解説を入れましょう。
移流方程式  \frac {\partial u}{\partial t} + a\frac {\partial u}{\partial x}=0 に対して、 {\frac {dx}{dt}} = a を満たすような  x=x(t) に沿って微分の連鎖率を用いると、
 \frac{d}{dt} \{u(x(t),t)\} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u}{\partial t} \frac{dt}{dt} = a \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial t} = 0
となる、つまり  u(x(t),t) は一定の値をとります。この性質を用いて双曲型の一階の偏微分方程式を解く方法を特性曲線法といいます。