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【フランス語】Riemann問題ーその2

Riemann問題ーその2やっていきます。

Le problème de Riemann scalaire
スカラーに対するRiemann問題


Le problème de Riemann scalaire se pose comme un problème de Cauchy :
 \forall (x,t) \in \Omega \times [0 , +\infty[ \qquad \frac{\partial u}{\partial t} (x,t)+ \frac{\partial f(u)}{\partial x} (x,t)= 0
avec la condition initiale  {\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)}.

スカラーに対するRiemann問題はCauchy問題として提起される:
 \forall (x,t) \in \Omega \times [0 , +\infty[ \qquad \frac{\partial u}{\partial t} (x,t)+ \frac{\partial f(u)}{\partial x} (x,t)= 0
ここで初期条件は  {\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x)} である。


La fonction  {\displaystyle f} est supposée suffisamment dérivable.

関数  {\displaystyle f} は十分に微分可能であると仮定する。


Pour simplifier, on suppose ici que  {\displaystyle \Omega =]-\infty ,+\infty [} .

簡単のためにここで  {\displaystyle \Omega =]-\infty ,+\infty [} を仮定する。


Le terme « loi de conservation » vient de la remarque suivante : en intégrant l'équation sur le rectangle  {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\times [0,T]} , on obtient :
 \int_{x_1}^{x_2} u(x,T)dx - \int_{x_1}^{x_2} u_0(x) dx = -\int_0^T f(u(x_2,t))dt + \int_0^T f(u(x_1,t))dt,
qui exprime que si l'on regarde  u comme une densité de masse,  f(u) peut être vue comme la fonction flux.

「保存則」という用語は以下のような考察から出てくる:長方形領域  {\displaystyle [x_{1},x_{2}]\times [0,T]} でその方程式を積分すると、
 \int_{x_1}^{x_2} u(x,T)dx - \int_{x_1}^{x_2} u_0(x) dx = -\int_0^T f(u(x_2,t))dt + \int_0^T f(u(x_1,t))dt
を得る。これは、もし  u を質量密度と見れば、 f(u) は流束関数と見ることができることを示している。

・remarque: f. 注意、指摘、考察
・l'on: onと同じ、フランス語 on に関する用法について - イタリア語 解決済 | 教えて!goo


Comme, d'ordinaire, on suppose que  f(0)=0 et que la fonction  u(x,t) tend vers 0 quand  {\displaystyle x_{1},x_{2}} tendent chacun vers les bornes du domaine, on trouve ainsi
 \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,t) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} u_0(x) dx,
ce qui exprime la conservation de la masse au cours du temps.

いつもと同様に、 f(0)=0 であることと  {\displaystyle x_{1},x_{2}} がそれぞれ領域の境界に近づくとき関数  u(x,t) は0に近づくことを仮定する。したがって
 \int_{-\infty}^{+\infty} u(x,t) dx = \int_{-\infty}^{+\infty} u_0(x) dx,
であることが、すなわち一定の期間における質量の保存をあらわすことがわかる。
・d'ordinaire: いつもは
・tendre: に向かう
・vers: の方に
・chacun: それぞれ
・trouver: 見つける
・ainsi: したがって
・ce qui: フランス語文法、ce queの用法を教えて下さい - フランス語 解決済 | 教えて!goo
・cours: m. 流れ、経過