数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【関数解析】Lax-Milgramの定理(ラックス・ミルグラムの定理)

今回はLax-Milgramの定理(ラックス・ミルグラムの定理)の証明をEvansの名著"Partial Differential Equations"の6.2.1.Lax-Milgram Theoremに従って紹介していきます。Lax-Milgramの定理は弱解の存在と一意性を示す際や、有限要素法の誤差評価の際に威力を発揮します。適宜行間を埋めて紹介していきます。

Lax-Milgramの定理
Hヒルベルト空間、Bヒルベルト空間から実数への双線型写像B: H \times H \to \mathbb Rとする。
B有界かつ強圧的であるとする。すなわち、
|B(x,y)|\leq M\|x\|\|y\|\quad(x,y \in H)\tag{1} \label{1}

C\|x\|^2\leq B(x,x)\quad(x \in H)\tag{2} \label{2}
を満たす定数M,C>0が存在するとする。

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