数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【ドイツ語版Wikipedia】Riemann問題ーその1

今回は知っている人は知っているRiemann問題のドイツ語版Wikipedia Riemann-Problem – Wikipedia の記事を訳していきます。Riemann問題とは要するにダムが崩壊した際に水がどのように動くか、という問題のことです。


Als Riemann-Problem (nach Bernhard Riemann) wird in der Analysis ein spezielles Anfangswertproblem bezeichnet, bei dem die Anfangsdaten als konstant definiert werden, bis auf einen Punkt, in welchem sie unstetig sind.

解析学における特別な初期値問題はRiemann問題(Bernhard Riemannに因む)と呼ばれる。Riemann問題では一点を除いて(ダムがある部分のこと)初期データは定数と定義されており、非定常な問題である。


Riemann-Probleme sind sehr hilfreich für das Verständnis hyperbolischer partieller Differentialgleichungen, da in ihnen alle Phänomene wie Schocks, Verdichtungsstöße oder Verdünnungswellen auftauchen.

Riemann問題は双曲型偏微分方程式の理解のために非常に役立つ。そこでは衝撃波、接触不連続、膨張波(希薄波、rarefaction wave)のようにすべての現象が現れるからである。


Ebenfalls sind auch für komplizierte nichtlineare Gleichungen wie die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik exakte Lösungen konstruierbar, was nicht für beliebige Anfangsdaten möglich ist.

同様に流体力学のEuler方程式のような複雑な非線型方程式に対する厳密解も、それは任意の初期データに対して可能ではないのだが、構成可能である。


In der numerischen Mathematik tauchen Riemann-Probleme in natürlicher Weise in Finite-Volumen-Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen auf.

数値解析においてRiemann問題は保存方程式を解くための有限体積法においても自然と現れる。


Dort werden die Riemann-Probleme approximativ mittels so genannter Riemann-Löser angegangen.

そこではRiemann問題はいわゆるRiemannソルバーを用いて近似的に計算される。


この辺の話は私も現在勉強中です。教科書としては

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction

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Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows

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はじめてのCFD―移流拡散方程式

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あたりがよいと思います。特にToroはこの分野の大家でわかりやすいです。おすすめとしては"Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics"(通称赤の書)の第2章で双曲型偏微分方程式の基礎理論(特性曲線法やRiemann問題)を学び、"Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows"(通称青の書)を読むのがよいのではないでしょうか。この順序で学習すると滑らかに繋がると思います。日本語で学びたい方には『はじめてのCFD』が適しているでしょう。和書ではこれ以上数値スキームについて書いてある本はないかもしれません。ただし今挙げた3冊とも有限要素法はほとんど載っていないので他の本で補う必要があります。