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数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【ドイツ語】Burgers方程式―バーガース方程式

今回はドイツ語版WikipediaのBurgers方程式の記事 Burgersgleichung – Wikipedia を訳していきたいと思います。


Die Burgersgleichung ist eine einfache nichtlineare partielle Differentialgleichung, die in verschiedenen Gebieten der angewandten Mathematik auftritt.

Burgers方程式は簡単な非線型偏微分方程式で、応用数学の様々な分野に登場する。


Die Gleichung ist nach dem niederländischen Physiker Johannes Martinus Burgers benannt.

この方程式はオランダの物理学者Johannes Martinus Burgersに因んで名付けられている。


Die Gleichung ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion von zwei Variablen.

この方程式は二変数関数に対する二階の非線型偏微分方程式である。


In allgemeiner Form sieht die Gleichung folgendermaßen aus (auch viskose Burgersgleichung genannt):

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

この方程式の一般形は次のような方程式である(粘性Burgers方程式とも呼ばれる):

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}


Dies ist offensichtlich äquivalent zu

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial x}(u^2) = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.

これは明らかに以下の式

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial }{\partial x}(u^2) = \mu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}

と同値である。


Der Parameter {\displaystyle \mu >0} kann hier als Viskositätsparameter interpretiert werden.

ここでパラメータ {\displaystyle \mu >0} は粘性係数と解釈できる。


Oft wird auch die obige Gleichung für den Fall {\displaystyle \mu =0} , als Burgersgleichung bezeichnet, manche Autoren nennen diesen Spezialfall die reibungsfreie Burgersgleichung (engl: inviscid Burgers' equation):

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0

bzw.

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}(u^2) = 0.

上式は {\displaystyle \mu =0} の際もしばしばBurgers方程式と呼ばれる。幾人かの著者らはこの特別な場合を摩擦の無いBurgers方程式(非粘性Burgers方程式)と名付けている:

\frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} = 0

または

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x}(u^2) = 0


Formal sind beide Darstellungen zwar äquivalent, die zweite Form ist allerdings für numerische Berechnungen vorteilhafter.

形式的にはどちらの表現も確かに同値であるが、2つ目の式は数値計算の際に有利である。


Der Grund hierfür ist die "Erhaltungsform" der Differentialgleichung.

この理由は微分方程式の「保存型式」にある。


Siehe dazu: Erhaltungsgleichung, Finite-Volumen-Verfahren.

それについては「保存方程式」、「有限体積法」を見よ。


Anwendung

応用


Die Burgersgleichung ist das einfachste Beispiel einer nichtlinearen hyperbolischen Differentialgleichung und wird daher oft als Testfall für numerische Algorithmen für diese Art von Gleichungen verwendet.

Burgers方程式は双曲型方程式の最も単純な例であり、そのためにこの種の方程式に対する数値計算手法のテスト問題としてしばしば用いられている。


Sie kann auch als ein einfaches Modell einer eindimensionalen Strömung gesehen werden.

Burgers方程式は1次元の流れの単純なモデルとしてもみることができる。


Als Beispiel wird oft die Verkehrsdichte im Straßenverkehr genommen, deren zeitlicher Verlauf mit Hilfe der Burgersgleichung modelliert werden kann.

例として道路における交通の密度がしばしば挙げられる。交通の密度の時間発展はBurgers方程式を用いることによりモデル化することが可能である。

Die Interpretation einer eindimensionalen Strömung rührt von der Ähnlichkeit der Gleichung mit dem nichtlinearen Teil der Navier-Stokes-Gleichung her.

1次元の流れという解釈はBurgers方程式とNavier-Stokes方程式非線型項との類似性に起因する。


Lösungen

解法


Die unviskose Gleichung kann mit Hilfe der Methode der Charakteristiken gelöst werden.

非粘性の方程式は特性曲線法を用いることにより解くことができる。


Allerdings besitzt die Gleichung nicht unbedingt eine eindeutige Lösung.

しかしながらこの方程式が必ずしも一義的な解を持つとは限らない。


Bei geeignet gewählten Anfangswerten können Schocks beobachtet werden.

適当な初期値に対して衝撃波が観察できる。


Die viskose Gleichung motiviert dann auch für die Euler-Gleichungen den Begriff der Lösung mit verschwindender Viskosität.

さらに粘性Burgers方程式は、Euler方程式に対する粘性消去法による解法の概念を理由づける。


Jene ist diejenige Lösung der unviskosen Burgersgleichung, die einer Lösung der viskosen Gleichung mit verschwindender Viskosität entspricht.

前者(特性曲線法)は非粘性Burgers方程式のその解法であり、非粘性Burgers方程式の粘性消去法を用いた粘性方程式の解と一致する。


Für die viskose Burgersgleichung führt eine Hopf-Cole-Transformation zum Ziel.

粘性Burgers方程式に対してはHopf-Cole変換がある。


次回はBurgersの記事を訳しましょうか。