数学とか語学とか楽しいよね

ドイツ語、ロシア語、オランダ語、英語、フランス語、ラテン語とか数学とか数値計算(有限要素法、有限体積法、差分法、C++コード付き)とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。

有限要素法

【Navier-Stokes方程式】MAC法によるNavier-Stokes方程式の離散化

今後キャビティー流れの計算をやりたいので、MAC法(Maker And Cell method)によるNavier-Stokes方程式の離散化について説明していきます。流速と圧力を直接未知数として計算する手法で陽解法です。以下の内容は『流れ解析のための有限要素法』のpp.154-155…

【有限要素法】Cole-Hopf変換による1次元Burgers方程式(バーガース方程式)の解析解

1次元Burgers方程式の解析解を求めます。『偏微分方程式の数値シミュレーション』のpp.219-220と以下のリンクを参照しています。偏微分方程式の数値シミュレーション作者: 登坂宣好,大西和栄出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 1991/04メディア: 単行本…

【有限要素法】1次元Fisher-KPP方程式(フィッシャーKPP方程式)をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は1次元Fisher-KPP方程式(フィッシャーKPP方程式)を有限要素法(Galerkin法)で解いていきます。C++コード付きです。おそらくFisher-KPP方程式を有限要素法で解くコードが載っているネット上唯一のページです。Fisher-KPP方程式は半線型反応拡散方程式…

【有限要素法】1次元Poisson方程式(ポワソン方程式)の解析解

1次元Poisson方程式の解析解を求めます。 とし、境界条件は 、 とします。まず を右辺に移項して一回積分するとを得ます。ここで は積分定数です。 よりです。すなわち を得ます。これを代入してとなります。次にもう一度積分するととなります。 よりです。…

【有限要素法】1次元Burgers方程式(バーガース方程式)をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は1次元Burgers方程式(バーガース方程式)を有限要素法(Galerkin法)で解いていきます。C++コード付きです。1次元Burgers方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を…

【有限要素法】1次元非定常移流拡散方程式をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は1次元非定常移流拡散方程式を有限要素法(Galerkin法)で解いていきます。C++コード付きです。1次元非定常移流拡散方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場…

【有限要素法】無限領域における拡散方程式の解析解

今回は無限領域における拡散方程式の解析解をフーリエ変換を使って導きたいと思います。松下泰雄『フーリエ解析』のpp.126-127を参照します。フーリエ解析―基礎と応用作者: 松下泰雄出版社/メーカー: 培風館発売日: 2001/11/01メディア: 単行本 クリック: 1…

【有限要素法】一次元非定常移流拡散方程式の解析解を導く

今回は一次元非定常移流拡散方程式の解析解を導きたいと思います(実は途中まで)。有限要素法のプログラムがきちんと動くかどうか確かめるために使いたいのです。これ意外と本に載っていないのではないでしょうか。一次元非定常移流拡散方程式とは in のよ…

【有限要素法】2次元有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式

今回は、2次元の有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式 を示します。ここで は2次元の三角形要素、 はその面積、、、 は形状関数で、それぞれ とあらわされます。係数は で与えられます。 と はそれぞれ三角形要素の頂点の座標です。 これを知っ…

【有限要素法】1次元有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式

今回は、1次元の有限要素法における面積座標(局所座標)の積分公式 を示します。ここで は要素の長さ、 と は形状関数で、それぞれ とあらわされます。これを知っていると積分がサクサクできます。 まず、 とおきます。すると、 より とかけるので上式に代…

【有限要素法】『よくわかる有限要素法』

有限要素法の解説書である、福森栄次著『よくわかる有限要素法』を読み終わったので、内容に関して書いていきたいと思います。ページ数は304でそれなりに読みごたえがあります。私は2日ほどで通読しました。初心者向けとのことですが、本当の初心者には通読…

【有限要素法】有限要素法の誤差解析ーそのアイディア

有限要素法が様々な分野の問題に適用されている理由の一つに、一般的な「誤差解析が行いやすい」ということがあります。以下にそのアイディアを示します。 Ceaの補題(セアの補題)を用いて、有限要素解と真の解との誤差を、有限要素解と補間関数との誤差の…

【数値計算】数理モデルと離散化の関係とか

今回は「数理モデル」と「離散化」の関係を説明します。いろいろ書こうとするとどうしてもこの二つの概念を説明する必要があることに気づきました。 まず、考えたい(解析したい)現象があります。今回は玉が重力の下で自由落下する運動を考えたい現象である…

【数値計算】単調性保存(monotonicity preserving)

単調性保存(monotonicity preserving)は数値計算のスキームを考える際に必要となる概念です。単調性保存の定義は離散化された方程式のすべての節点 にたいしてならば が成り立つとき、このスキームを単調性保存(monotonicity preserving)である、という…

【有限要素法】有限要素法で局所座標の積分公式を証明する際に用いる定積分の公式

今回は、有限要素法で局所座標の積分公式を証明する際に用いる、定積分の公式 を示します。簡単そうに見えますが、計算するのには一手間かかります。 まず、 を以下の式 で定義します。漸化式にして求めます。部分積分を一回して を得ます。同じように を部…

【有限要素法】1次元非定常拡散方程式をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は1次元非定常拡散方程式を有限要素法(Galerkin法)で解いていきます。C++コード付きです。1次元非定常拡散方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に三番…

【有限要素法】1次元定常移流拡散方程式をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は1次元定常移流拡散方程式を有限要素法(Galerkin法)で解いていきます。C++コード付きです。1次元定常移流拡散方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に…

【有限要素法】1次元Poisson方程式(ポアソン方程式)をGalerkin法で解く C++コード付き

今回は有限要素法の勉強で最初に解くであろう、1次元Poisson方程式を有限要素法(Galerkin法)で解くC++コードを公開します。前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に、…

【有限要素法】有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?【導入編】

有限要素法のプログラミングを勉強したいと思っている方はたくさんいると思います。私も最初はちんぷんかんぷんでした。Poisson方程式やら移流拡散方程式やらたくさん出てきます。有限要素法や数値計算の本を山ほど仕入れてきてうんうん唸っていました。そん…