数学
1次元Burgers方程式の解析解を求めます。『偏微分方程式の数値シミュレーション』のpp.219-220と以下のリンクを参照しています。偏微分方程式の数値シミュレーション作者: 登坂宣好,大西和栄出版社/メーカー: 東京大学出版会発売日: 1991/04メディア: 単行本…
前回1次元Fisher-KPP方程式（フィッシャーKPP方程式）を有限要素法（Galerkin法）で解く話を書いたのですが、そのときに線型反応移流拡散方程式とマルサスモデル（Malthusモデル）の関係について気がつきました。せっかくなので文章として残しておきます。ま…
1次元Poisson方程式の解析解を求めます。 とし、境界条件は 、 とします。まず を右辺に移項して一回積分するとを得ます。ここで は積分定数です。 よりです。すなわち を得ます。これを代入してとなります。次にもう一度積分するととなります。 よりです。…
今回は1次元Burgers方程式（バーガース方程式）を有限要素法（Galerkin法）で解いていきます。C++コード付きです。1次元Burgers方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか？」で紹介した、有限要素法を…
今回は1次元非定常移流拡散方程式を有限要素法（Galerkin法）で解いていきます。C++コード付きです。1次元非定常移流拡散方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか？」で紹介した、有限要素法を学ぶ場…
2変数の微分積分学の基本定理の証明が載っているリンクです。別名ライプニッツ則ともいいます。積分する領域が時間とともに変わる場合を扱うときに使います。例えばNavier-Stokes方程式から浅水流方程式を導く際に使います。よく忘れてしまうのでメモです。h…
今回は無限領域における拡散方程式の解析解をフーリエ変換を使って導きたいと思います。松下泰雄『フーリエ解析』のpp.126-127を参照します。フーリエ解析―基礎と応用作者: 松下泰雄出版社/メーカー: 培風館発売日: 2001/11/01メディア: 単行本 クリック: 1…
畳み込みの意味をわかりやすく説明してくれるサイトのリンクです。畳み込みはフーリエ変換、拡散方程式や常微分方程式の解の表示の際などにあらわれます。畳み込みは何を表しているのか、その意味が書いてあります。「発熱 川に落ち 失恋 転校 失恋 留年 靴…
今回は一次元非定常移流拡散方程式の解析解を導きたいと思います（実は途中まで）。有限要素法のプログラムがきちんと動くかどうか確かめるために使いたいのです。これ意外と本に載っていないのではないでしょうか。一次元非定常移流拡散方程式とは in のよ…
sup(A)=inf(-A)の証明をいつも忘れてしまうのでリンク張っておきます。 -sup(A)=inf(-A) - の証明を分かりやすく教えてください - Yahoo!知恵袋
Ian Stewart著、"In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World"（世界を変えた17の方程式）を読み終わりました。In Pursuit of the Unknown: 17 Equations That Changed the World作者: Ian Stewart出版社/メーカー: Basic Books発売日:…
藤田宏著『非線形偏微分方程式へのある入門』のリンクです。熱方程式に二乗の形のソース項（非線形項）をつけた偏微分方程式を題材に、解の存在や一意性、爆発等について解説しています。https://www.jstage.jst.go.jp/article/butsuri1946/25/1/25_1_18/_pd…
藤田宏著『Navier-Stokes方程式の数学的プロフイル』のリンクです。いわゆる「Navier-Stokes方程式の解の存在と一意性」に関してその当時わかっていたことが整理されています。実は対談形式になっていて掛け合いもおもしろいです。https://www.jstage.jst.go…
大塚敏之著『アドバンスト制御のための変分法と最適制御』の第一回と第二回（全二回）のリンクです。変分法と最適制御について解説しています。「本講座では、変分法の初歩から出発して、最適制御問題の解が満たすべき条件や、最適制御問題の数値解法の考え…
コンピュータに将棋やオセロをプレイさせる際に必要となる最適な手の探索法のひとつ、Minimax法（ミニマックス法）を説明してくれるサイトのリンクです。図解が非常にわかりやすいです。Minimax法が「想定される最大の損害が最小になるように決断を行う戦略…
「自分自身に転置行列をかけてできる行列は、正定値対称行列になる」ということを証明したいと思います。この命題は、行列の反復解法であるGauss-Seidel法を考える場合に役に立ちます。 例えば、正則であり正定値でない 行列 と 次元ベクトル と に対して連…
藤田宏著、『大学での微分積分Ⅰ』を読み終わりました。実は私、大学の微分積分をきちんと勉強したことがありません。そんなわけで一度腰を据えて勉強しようと思ったのでした。 微分積分の参考書は星の数ほどあるので悩みましたが、応用や定義の意味に重点を…
Lagrangeの未定乗数法といわれる方法について、その使い方をまず説明します。よく経済学や最適化の分野で登場する重要な手法ですが、天下り的な感じがして理解しづらいです。 これは「等式制約条件付き極値問題」を「無制約な極値問題」へと変換する方法であ…
"Analysis als exakte mathematische Theorie" Anders als du die Analysis in der Schule kennen gelernt hast, werden wir in diesem Buch die Theorie mathematisch exakt formulieren. Das heißt, dass wir jeden Satz rigoros beweisen und jeden Begri…
"Analysis als Sprache der Natur" Die meisten naturwissenschaftlichen Problemstellungen werden mit Hilfe von Konzepten modelliert, die du in der Analysis kennen lernen wirst: Wie lassen sich Ort und Geschwindigkeit eines sich bewegenden Obj…
"Analysis als Grundlage der Mathematik" Die Analysis ist eine der grundlegenden Vorlesungen der Mathematik. Viele Theorien wie die Funktionentheorie, Funktionalanalysis und die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen bauen direkt …
今回は陰山聡さん著、『数値計算のための解析力学』のリンクです。現在解析力学と取っ組み合いをしているので、目途が立ったら読ませていただきます。このように誰にでも読める形でまとめて公開していただけると、独学の際とても助かります。http://www.rese…
今回はドイツ語で大学レベルの数学を勉強する際に役立つ、"Mathe für Nicht-Freaks"（マニアのためではない、みんなのための数学）を紹介します。ドイツ語も数学も勉強できて一石二鳥です。やはりその言語で新しい情報を入手できるレベルになってこそ、その…
今回は確率論で「大数の弱法則」を示す際に活躍する、Markovの不等式とChebyshevの不等式の導出を説明してくれるサイトです。まずMarkovの不等式を導き、それを用いてChebyshevの不等式を示すのがスタンダードな流れになっています。
今回は数理ファイナンス、生態学など今や何にでも使われているのではないかと思われる（私だけかもしれません）「確率微分方程式」をかなりわかりやすくまとめた、大谷俊介さんによる『確率解析の技法』です。細かい測度論を用いた話には踏み込まず、51ペー…
ネット上で見つけた有益な数学、物理に関するリンクも貼っていくことにします。備忘録の一部です。今回は熱力学、解析力学で用いられるLegendre（ルジャンドル）変換について非常にわかりやすく解説したリンクです。図がとてもよいです。この「高校数学の美…
実数の連続性の公理の一つ、「上・下限の存在」を紹介しておきます。実数 の部分集合 に対して、 が上に有界ならば、その上限 が存在する。 また、 が下に有界ならば、その下限 が存在する。これは実数はびっしりと数直線上に並んでいることを表しています。…
Grimm兄弟の収集したGrimm童話の中から"Der alte Großvater und der Enkel"（としよりのおじいさんと孫）のドイツ語原著、英語版、フランス語版、日本語版のリンクです。ドイツ語原著（Der alte Großvater und der Enkel） 英語版（The old man and his gran…
集積値には以下のような定義があります。同値性はほぼ自明なので省略します。数列 のある部分列が に収束するならば、この を集積値と呼ぶ。または のどんな近傍にも数列 の項が無限に多く存在するとき、この を集積値と呼ぶ。 参考田島一郎 『イプシロン-デ…
私は数値計算に興味がありますが、昔は数学者になりたかったので、解析解以外の解、数値解にはまったく魅力を感じなかったのです。受験問題レベルの数学でさえすらすらと解くことができなかったくらいなので、数学者になるのは諦めました。全然向いていない…
