2019-08-23

【ドイツ語】『文法復習やさしい独文解釈』【13冊目】

はじめに

有田潤著『文法復習やさしい独文解釈』を読んだので、その紹介をしようと思います。初級と中級をつなぐ名著でした。

作者: 有田潤
出版社/メーカー: 三修社
発売日: 1986
メディア: 単行本
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どんな本？

初級文法は学んだけれど、まだドイツ語の本は読めなくて次に何を勉強しようかと考えている人が読むべきドイツ語読解の参考書です。もっと詳しく言うと、「初級文法を一度学んだけれども、もう一度初級文法をやるのは面白くないし、かといって本を読むには単語や熟語の力が足りない人が中級へと到達すること」を想定したドイツ語読解の参考書です。取り上げられている題材は、芸術、地理、経済、歴史、情景描写など様々で、将来ドイツ語で本を読む時に役に立ちます。ページ数は188ページでコンパクトです。この本を読み切ると、中級ドイツ語の参考書が使えるようになります。例えば『独文解釈の研究』や『独文解釈の秘訣』などが読めるようになります。これらは「独学で大学教師よりドイツ語ができるようになる方法」でもおすすめされているドイツ語解釈の参考書です。是非読みましょう。私もまだ途中ですが…

独文解釈の研究

作者: 阿部賀隆
出版社/メーカー: 郁文堂
発売日: 2000/01/01
メディア: 単行本
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独文解釈の秘訣―大学入試問題の徹底的研究 (1)

作者: 横山靖
出版社/メーカー: 郁文堂
発売日: 1978/05
メディア: 単行本
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独文解釈の秘訣―大学入試問題の徹底的研究 (2)

作者: 横山靖
出版社/メーカー: 郁文堂
発売日: 2000/01/01
メディア: 単行本
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構成は？

『独文解釈の研究』と非常に似ており、50課から構成されています。各課は、まず題材の文章（数百語程度の長さ）、単語・熟語の意味、構文・文法の解説、全訳、そして最後に作文となっています。各課ごとに注目する文法事項が示されていて重点的に解説してくれます。私はこの古き良き構成が大好きですし、読解力をつけるうえで一番効率的だと信じています。後ろにいくほど文章が難しくなっていきますが、難しくなりすぎることはありません。作文に関しては、私はもちろん答えのほうを見て読解として活用しています。

f:id:mutsumunemitsutan:20190823000037j:plain:w500

良い点

単語・熟語を大量に覚えることができる

かなり丁寧な語釈がついているので辞書をひく手間が減らせます。

ドイツ語らしい構文に慣れることができる

まさにドイツ語らしい構文（関係代名詞や指示代名詞でどんどんつなぐ、接続詞を省略）のオンパレードで力がつきます。

構文・文法の説明が丁寧

初級文法もしっかり復習できます。

様々なタイプの文章が収録されている

ハイネ、モーツァルト、ベートーヴェンなどの芸術の話や、地理、経済、歴史、情景描写などが収録されており、将来ドイツ語で本を読む時に役に立ちます。もちろんそれぞれの話自体も興味深いです。

悪い点

悪い点は無いです！これは素晴らしい本ですね。

おわりに

実は著者の有田潤氏は『初級ラテン語入門』の著者でもあるのです！これはびっくりですね。ラテン語を研究するためにはドイツ語、フランス語は必須ということでしょうか。私も見習いたい限りです。

初級ラテン語入門

作者: 有田潤
出版社/メーカー: 白水社
発売日: 1964/01/01
メディア: 単行本
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これでしっかり通して読み終わったので、一日一周の復習ができるようになりました。文章だけ読むと通しで1時間弱ですね。30回ぐらい読みたいです。

2019-08-01

【最適化】準ニュートン法（BFGS公式とアルミホ条件による直線探索）C++コード付き

最適化数値計算 C++

はじめに

今回は無制約最小化問題に対する数値解法（反復法）である、準ニュートン法（BFGS公式とアルミホ条件による直線探索）のC++コードを公開します。例題として2変数関数

$\min f(x_1,x_2) = \frac{1}{2} (x_1-x_2^2)^2 + \frac{1}{2} (x_2-2)^2$

を考えます。最適解は $\boldsymbol{x}^*= (4, 2)$ です。反復法とは、適当な初期値 $\boldsymbol{x}^{0}$ を定め、

$\boldsymbol{x}^{n+1} = \boldsymbol{x}^{n} + \alpha \boldsymbol{d}$

という漸化式によって値を更新していき、最終的に最適解 $\boldsymbol{x}^*$ へと収束させるような方法のことです。ここで、 $\boldsymbol{d}$ が探索方向、 $\alpha$ がステップのサイズです。つまり、反復法を構成しているのは探索方向とステップのサイズです。準ニュートン法の場合、ニュートン法とは異なりステップのサイズは直線探索を行います。

参考文献

参考文献は『最適化とその応用』pp.156-165、『最適化と変分法』pp.49-57、『最適化法』pp.119-122それと以下のPDFファイルです。今回は、特に『最適化とその応用』のp.158の例6が非常に助けになりました。準ニュートン法の1ステップを具体的な数値を出しながら説明してくれています。これを丁寧に追えば、自分のコードが正しいか判断できます。『最適化とその応用』は他の話題でも具体的な数値例が出てくるので大好きです。

http://www-optima.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~nobuo/Ryukoku/2002/course7.pdf

工学基礎最適化とその応用 (新・工科系の数学)

作者: 矢部博
出版社/メーカー: 数理工学社
発売日: 2006/04
メディア: 単行本
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基礎系数学最適化と変分法 (東京大学工学教程)

作者: 寒野善博,土谷隆,東京大学工学教程編纂委員会
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2014/10/22
メディア: 単行本（ソフトカバー）
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最適化法 (工系数学講座 17)

作者: 田村明久,村松正和
出版社/メーカー: 共立出版
発売日: 2002/04/01
メディア: 単行本
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準ニュートン法とは？

準ニュートン法とは、ニュートン法を改良した手法です。ニュートン法の説明は以下の記事を見て下さい。

ニュートン法はまとめると

$\nabla^2 f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} = -\nabla f(\boldsymbol{x})$

という連立一次方程式を解いて $\boldsymbol{d}$ を求め

$\boldsymbol{x}^{n+1} = \boldsymbol{x}^{n} + \boldsymbol{d}$

のように値を更新して収束させる手法です。ただし、ニュートン法はヘシアン $\nabla^2 f(\boldsymbol{x})$ が正定値であれば降下方向（目的関数の値が減少する方向）を与えるのですが、一般にはヘシアンは常には正定値になりません。そこで、常に正定値となるようなヘシアンを近似する行列 $B$ をヘシアンの代わりに使おう、というのが準ニュートン法です。つまり、方向は

$B \boldsymbol{d} = -\nabla f(\boldsymbol{x})$

を解いて決めます。今回は連立一次方程式の解法として直接法であるガウスの消去法を使います。以下にC++コードがあります。

方向の次はステップのサイズですが、これはアルミホの条件で決めます。以下の記事を見て下さい。

さて最後に残ったのがヘシアンの近似行列 $B$ です。これは、BFGS公式と呼ばれる式を用いて更新していきます。Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shannoらによって独立に提案されました。以下のような式です。

$B^{n+1} = B^{n} -\frac{B^{n}\boldsymbol{s}^{n} (B^{n}\boldsymbol{s}^{n})^{T}}{(\boldsymbol{s}^{n})^{T} B^{n} \boldsymbol{s}^{n}} + \frac{\boldsymbol{y}^{n} (\boldsymbol{y}^{n})^{T}}{(\boldsymbol{s}^{n})^{T} \boldsymbol{y}^{n}}$

ここで、 $\boldsymbol{s}^{n} = \boldsymbol{x}^{n+1} - \boldsymbol{x}^{n}$ 、 $\boldsymbol{y}^{n} = \nabla f(\boldsymbol{x}^{n+1}) - \nabla f(\boldsymbol{x}^{n})$ です。大事なのは、この $B$ がセカント条件と正定値条件を満たすことです。これらは、ヘシアンが持っていて然るべき性質をあらわしています。詳細は『最適化法』pp.120-121を見て下さい。

準ニュートン法の詳細は上記の参考文献を見てください。

C++コード

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//function//
inline double f(double x, double y)
{
	return 0.5*(x-y*y)*(x-y*y)+0.5*(y-2.0)*(y-2.0);
}

//gradient x//
inline double fx(double x, double y)
{
	return x-y*y;
}

//gradient y//
inline double fy(double x, double y)
{
	return -2.0*y*(x-y*y)+y-2.0;
}

//matix vector multiplication Ax=b
inline void MatVec(double A[],double x[],double b[], int size)
{
	for(int i=0;i<size;i++)
	{
		b[i]=0.0;
		for(int j=0;j<size;j++)
		{
			b[i]+=A[i*size+j]*x[j];
		}
	}
}

//inner product//
inline double ip(double a[], double b[], int size)
{
	double value=0.0;
	for(int i=0;i<size;i++) value+=a[i]*b[i];
	return value;
}

//Newton method, Gaussian elimination//
inline double Newton(int n, double b[], double B[], double x[])
{	
	double A[n*n];
	
	//copy//
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		for(int j=0;j<n;j++)
		{
			A[i*n+j]=B[i*n+j];
		}
	}
	
	//forward elimination//
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			int m=A[j*n+i]/A[i*n+i];
			
			for(int k=i+1;k<n;k++)
			{
				A[j*n+k]=A[j*n+k]-m*A[i*n+k];
			}
			
			b[j]=b[j]-m*b[i];
			
			A[j*n+i]=0.;
		}
	}
	
	//backward substitution//
	x[n-1]=b[n-1]/A[(n-1)*n+n-1];
	
	for(int i=n-2;i>=0;i--)
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			b[i]-=A[i*n+j]*x[j];
		}
		
		x[i]=b[i]/A[i*n+i];
	}
}

//dysdic, vector*vector=matrix, a*b=ab//
inline void dyadic(double a[], double b[], double ab[], int size)
{
	for(int i=0;i<size;i++)
	{
		for(int j=0;j<size;j++)
		{
			ab[i*size+j]=a[i]*b[j];
		}
	}
}

inline void Bupdate(double Bs[], double dgrad[], double B[], double sBs, double sdgrad, int size)
{
	double BsBs[size*size];
	double dgraddgrad[size*size];
	dyadic(Bs,Bs,BsBs,size);
	dyadic(dgrad,dgrad,dgraddgrad,size);
	
	for(int i=0;i<size;i++)
	{
		for(int j=0;j<size;j++)
		{
			B[i*size+j]=B[i*size+j]-BsBs[i*size+j]/sBs+dgraddgrad[i*size+j]/sdgrad;
		}
	}
}

//Armijo line search//
inline double Armijo(double x, double y, double d[])
{
	double alpha=1.0;//step size
	double rho=0.4;//contraction ratio
	double c1=0.001;//coefficient
	
	for(int i=0;i<10000;i++)
	{
		if(f(x+d[0]*alpha,y+d[1]*alpha)<=f(x,y)+c1*(fx(x,y)*d[0]+fy(x,y)*d[1])*alpha) break;
		else alpha=rho*alpha;
	}
	
	return alpha;
}

int main()
{
	int n=2;
	double err=pow(10.0,-10.0);//tolerance
	double x,y;//unknown values
	double xnew,ynew;//next time step values
	double d[n];//direction and step size
	double B[n*n];//approximate hessian
	double grad[n];//gradient
	double s[n];
	double dgrad[n];
	double alpha;//step size
	double Bs[n];
	double sdgrad;
	double sBs;
	
	//initial value//
	x=0.0;
	y=0.0;
	B[0*n+0]=1.0;
	B[0*n+1]=0.0;
	B[1*n+0]=0.0;
	B[1*n+1]=1.0;
	
	//iteration//
	for(int i=0;i<10000;i++)
	{
		cout<<i<<" "<<abs(fx(x,y))<<" "<<abs(fy(x,y))<<endl;
		
		//convergence check//
		if((abs(fx(x,y))<err)&&(abs(fy(x,y))<err)) break;
		
		grad[0]=-fx(x,y);
		grad[1]=-fy(x,y);
		
		//direction//
		Newton(n,grad,B,d);
		
		//step size//
		alpha=Armijo(x,y,d);
		
		//update for x//
		xnew=x+alpha*d[0];
		ynew=y+alpha*d[1];
		
		//update for B//
		s[0]=alpha*d[0];
		s[1]=alpha*d[1];
		dgrad[0]=fx(xnew,ynew)-fx(x,y);
		dgrad[1]=fy(xnew,ynew)-fy(x,y);
		MatVec(B,s,Bs,n);
		sdgrad=ip(s,dgrad,n);
		sBs=ip(s,Bs,n);
		
		Bupdate(Bs,dgrad,B,sBs,sdgrad,n);
		
		//system("pause");
		//update//
		x=xnew;
		y=ynew;
	}
	
	cout<<endl;
	cout<<x<<" "<<y<<endl;
	
    return 0;
}

2019-07-31

【最適化】多変数ニュートン法　C++コード付き

最適化数値計算 C++

はじめに

今回は無制約最小化問題に対する数値解法（反復法）である、多変数ニュートン法のC++コードを公開します。例題として2変数関数

$\min f(x,y) = x^3 + y^3 -9xy +27$

を考えます。最適解は $\boldsymbol{x}^*= (3, 3)$ です。反復法とは、適当な初期値 $\boldsymbol{x}^{0}$ を定め、

$\boldsymbol{x}^{n+1} = \boldsymbol{x}^{n} + \alpha \boldsymbol{d}$

という漸化式によって値を更新していき、最終的に最適解 $\boldsymbol{x}^*$ へと収束させるような方法のことです。ここで、 $\boldsymbol{d}$ が探索方向、 $\alpha$ がステップのサイズです。つまり、反復法を構成しているのは探索方向とステップのサイズです。ニュートン法の場合、探索方向とステップのサイズは一度に求まります。お得ですね。

参考文献

参考文献は『これならわかる最適化数学』pp.88-93、『最適化と変分法』pp.44-49、『最適化とその応用』pp.151-155、それと以下のPDFファイルです。『これならわかる最適化数学』は特にビギナー向けで読みやすいです。
http://www-optima.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~nobuo/Ryukoku/2002/course7.pdf

これなら分かる最適化数学―基礎原理から計算手法まで

作者: 金谷健一
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発売日: 2005/09/01
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基礎系数学最適化と変分法 (東京大学工学教程)

作者: 寒野善博,土谷隆,東京大学工学教程編纂委員会
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工学基礎最適化とその応用 (新・工科系の数学)

作者: 矢部博
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ニュートン法とは？

ニュートン法とは、目的関数（最小化しようとする対象）に対する1次の最適性条件

$\nabla f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{0}$

に対して、非線型方程式に対するニュートン法を適用したもの、と言えます。詳しく説明しましょう。現在 $\boldsymbol{x}^{n}$ にいて $\boldsymbol{d}$ だけ進んだ時に1次の最適性条件を満たすとしましょう。つまり、

$\nabla f(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{d}) = \boldsymbol{0}$

です。我々が知りたいのは $\boldsymbol{d}$ です。上の式を1次までテイラー展開すると

$\nabla f(\boldsymbol{x}) + \nabla^2 f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d}= \boldsymbol{0}$

となります。 $\nabla^2 f(\boldsymbol{x})$ はヘシアンと呼ばれています。ここから $\boldsymbol{d}$ について解くと

$\boldsymbol{d} = -{\nabla^2 f(\boldsymbol{x})^{-1}} \nabla f(\boldsymbol{x})$

となります。これが多変数ニュートン法における探索方向とステップサイズです。一度に求まります。多変数の場合は行列になるので逆行列をかける必要があります。これが1変数ニュートン法との違いです。この $\boldsymbol{d}$ を用いて

$\boldsymbol{x}^{n+1} = \boldsymbol{x}^{n} + \boldsymbol{d}$

のように値を更新して収束させればよいのです。ただし、上記のように逆行列を求めるのは計算コストが高いので、実際には

$\nabla^2 f(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} = -\nabla f(\boldsymbol{x})$

という連立一次方程式を解いて $\boldsymbol{d}$ を求めます。今回は連立一次方程式の解法として直接法であるガウスの消去法を使います。以下にC++コードがあります。

多変数ニュートン法の詳細は上記の参考文献を見てください。

C++コード

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//function//
inline double f(double x, double y)
{
	return x*x*x+y*y*y-9.0*x*y+27.0;
}

//gradient x//
inline double fx(double x, double y)
{
	return 3.0*x*x-9.0*y;
}

//gradient y//
inline double fy(double x, double y)
{
	return 3.0*y*y-9.0*x;
}

//hessian xy//
inline double fxy(double x, double y)
{
	return -9.0;
}

//hessian fxx//
inline double fxx(double x, double y)
{
	return 6.0*x;
}

//hessian fyy//
inline double fyy(double x, double y)
{
	return 6.0*y;
}

//Newton method, Gaussian elimination//
inline double Newton(int n, double b[], double A[], double x[])
{	
	//forward elimination//
	for(int i=0;i<n-1;i++)
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			int m=A[j*n+i]/A[i*n+i];
			
			for(int k=i+1;k<n;k++)
			{
				A[j*n+k]=A[j*n+k]-m*A[i*n+k];
			}
			
			b[j]=b[j]-m*b[i];
			
			A[j*n+i]=0.;
		}
	}
	
	//backward substitution//
	x[n-1]=b[n-1]/A[(n-1)*n+n-1];
	
	for(int i=n-2;i>=0;i--)
	{
		for(int j=i+1;j<n;j++)
		{
			b[i]-=A[i*n+j]*x[j];
		}
		
		x[i]=b[i]/A[i*n+i];
	}
}

int main()
{
	int n=2;
	double err=pow(10.0,-10.0);//tolerance
	double x,y;//unknown
	double d[n];//direction and step size
	double Hess[n*n];//hessian
	double grad[n];//gradient;
	
	//initial value//
	x=5.0;
	y=7.0;
	
	//iteration//
	for(int i=0;i<10000;i++)
	{
		cout<<i<<" "<<abs(fx(x,y))<<" "<<abs(fy(x,y))<<endl;
		
		//convergence check//
		if((abs(fx(x,y))<err)&&(abs(fy(x,y))<err)) break;
		
		grad[0]=-fx(x,y);
		grad[1]=-fy(x,y);
		
		Hess[0*n+0]=fxx(x,y);
		Hess[0*n+1]=fxy(x,y);
		Hess[1*n+0]=fxy(x,y);
		Hess[1*n+1]=fyy(x,y);
		
		Newton(n,grad,Hess,d);
		
		//update//
		x=x+d[0];
		y=y+d[1];
	}
	
	cout<<endl;
	cout<<x<<" "<<y<<endl;
	
    return 0;
}

2019-07-30

【最適化】1変数ニュートン法　C++コード付き

最適化数値計算 C++

はじめに

今回は無制約最小化問題に対する数値解法（反復法）である、1変数ニュートン法のC++コードを公開します。例題として

$\min (x-2)^2$

を考えます。もちろん、最適解は $x^*=2$ です。反復法とは、適当な初期値 $x^{0}$ を定め、

$x^{n+1} = x^{n} + \alpha d$

という漸化式によって値を更新していき、最終的に最適解 $x^*$ へと収束させるような方法のことです。ここで、 $d$ が探索方向、 $\alpha$ がステップのサイズです。つまり、反復法を構成しているのは探索方向とステップのサイズです。ニュートン法の場合、探索方向とステップのサイズは一度に求まります。お得ですね。

参考文献

参考文献は『最適化と変分法』pp.44-49、『最適化とその応用』pp.151-155、それと以下のPDFファイルです。どちらの本も非常に参考になります。いつも読んでいます。
http://www-optima.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~nobuo/Ryukoku/2002/course7.pdf

基礎系数学最適化と変分法 (東京大学工学教程)

作者: 寒野善博,土谷隆,東京大学工学教程編纂委員会
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工学基礎最適化とその応用 (新・工科系の数学)

作者: 矢部博
出版社/メーカー: 数理工学社
発売日: 2006/04
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ニュートン法とは？

ニュートン法とは、目的関数（最小化しようとする対象）に対する1次の最適性条件

$\nabla f(x) = 0$

に対して、非線型方程式に対するニュートン法を適用したもの、と言えます。詳しく説明しましょう。現在 $x^{n}$ にいて $d$ だけ進んだ時に1次の最適性条件を満たすとしましょう。つまり、

$\nabla f(x+d) = 0$

です。我々が知りたいのは $d$ です。上の式を1次までテイラー展開すると

$\nabla f(x) + \nabla^2 f(x) d= 0$

となります。 $\nabla^2 f(x)$ はヘシアンと呼ばれています。ここから $d$ について解くと

$d = -\frac{\nabla f(x)}{\nabla^2 f(x)}$

となります。これが1変数ニュートン法における探索方向とステップサイズです。一度に求まります。多変数の場合は行列になるので逆行列をかける必要があります。この $d$ を用いて

$x^{n+1} = x^{n} + d$

のように値を更新して収束させればよいのです。詳細は上記の参考文献を見てください。

C++コード

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//function//
inline double f(double x)
{
	return (x-2.0)*(x-2.0);
}

//gradient//
inline double fx(double x)
{
	return 2.0*(x-2.0);
}

//hessian//
inline double fxx(double x)
{
	return 2.0;
}

//Newton method//
inline double Newton(double x)
{	
	return -fx(x)/fxx(x);
}

int main()
{
	double err=pow(10.0,-10.0);//tolerance
	double x=10.0;//initial value
	double d;//direction and step size
	
	
	//iteration//
	for(int i=0;i<10000;i++)
	{
		cout<<i<<" "<<abs(fx(x))<<endl;
		
		//convergence check//
		if(abs(fx(x))<err) break;
		
		d=Newton(x);
		
		//update//
		x=x+d;
	}
	
	cout<<endl;
	cout<<x<<endl;
	
    return 0;
}

2019-07-29

【最適化】最急降下法（アルミホ条件による直線探索）C++コード付き

最適化数値計算 C++

はじめに

今回は無制約最小化問題に対する数値解法（反復法）である、最急降下法（アルミホ条件による直線探索）のC++コードを公開します。例題として

$\min (x-2)^2$

を考えます。もちろん、最適解は $x^*=2$ です。反復法とは、適当な初期値 $x^{0}$ を定め、

$x^{n+1} = x^{n} + \alpha d$

という漸化式によって値を更新していき、最終的に最適解 $x^*$ へと収束させるような方法のことです。ここで、 $d$ が探索方向、 $\alpha$ がステップのサイズです。つまり、反復法を構成しているのは探索方向とステップのサイズです。今回は、探索方向としては最急降下法を、ステップのサイズとしてはアルミホ（Armijo）条件による直線探索を行います。

参考文献

参考文献は『最適化と変分法』pp.35-43、『最適化とその応用』pp.130-139、それと以下のPDFファイルです。どちらの本も非常に参考になります。いつも読んでいます。
http://www-optima.amp.i.kyoto-u.ac.jp/~nobuo/Ryukoku/2002/course7.pdf

基礎系数学最適化と変分法 (東京大学工学教程)

作者: 寒野善博,土谷隆,東京大学工学教程編纂委員会
出版社/メーカー: 丸善出版
発売日: 2014/10/22
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工学基礎最適化とその応用 (新・工科系の数学)

作者: 矢部博
出版社/メーカー: 数理工学社
発売日: 2006/04
メディア: 単行本
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最急降下法とは？

最急降下法とは、勾配が最もきつい方向、すなわちgradのマイナス方向に進んでいく手法のことを言います。勾配のきつい方向に進んでいくと底の部分にたどり着けるというわけです。ただし、場合によってはこの方法は効率がよくありません。そのような場合にも適用できる手法として共役勾配法などがあります。詳細は上記の参考文献を見てください。

アルミホ条件による直線探索とは？

アルミホ（Armijo）条件による直線探索とは、スタート地点での傾きに1より小さい係数をかけた傾きを使って直線をひき、その直線よりも関数の値が下回るようなステップサイズを採用する、というものです。上記のPDFの図がわかりやすいです。詳細は上記の参考文献を見てください。

C++コード

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//function//
inline double f(double x)
{
	return (x-2.0)*(x-2.0);
}

//gradient//
inline double fx(double x)
{
	return 2.0*(x-2.0);
}

//steepest gradient//
inline double SteepGrad(double x)
{
	return -fx(x);
}

//Armijo line search//
inline double Armijo(double x, double d, double alpha, double c1, double rho)
{
	alpha=1.0;
	for(int i=0;i<10000;i++)
	{
		if(f(x+d*alpha)<=f(x)+c1*fx(x)*d*alpha) break;
		else alpha=rho*alpha;
	}
	
	return alpha;
}

int main()
{
	double err=pow(10.0,-10.0);//tolerance
	double x=10.0;//initial value
	double alpha;//step size
	double rho=0.4;//contraction ratio
	double c1=0.001;//coefficient
	double d;//direction
	
	
	//iteration//
	for(int i=0;i<10000;i++)
	{
		cout<<i<<" "<<abs(fx(x))<<endl;
		
		//convergence check//
		if(abs(fx(x))<err) break;
		
		//step size search//
		d=SteepGrad(x);//direction
		alpha=Armijo(x,d,alpha,c1,rho);//step size;
		
		//update//
		x=x+alpha*d;
	}
	
	cout<<endl;
	cout<<x<<endl;
	
    return 0;
}

2019-07-24

【Navier-Stokes方程式に対する数値計算手法】サイトマップ

サイトマップ数値計算 Navier-Stokes方程式数値流体力学

はじめに

Navier-Stokes方程式を数値的に解く手法には、非常に多くのバリエーションがあり、どれから勉強してよいのか？何が違うのか？と悩む方も多いことでしょう。私もその一人でした。そこで、Navier-Stokes方程式に対する数値計算手法の本を山ほど買い込みだんだん勉強して参りました。その成果は当ブログの記事となっています。それらの記事をまとめたのがこのページです。

Navier-Stokes方程式に対する数値計算手法には、大きく分けるとMAC法系列の解法とSIMPLE法系列の解法があります。なのでMAC法とSIMPLE法を理解すれば、他の方法は簡単に理解できると思います。まだ書いている途中ですが、だんだんアップデートしていくのでよろしくお願いします。

MAC法

全ての始まりです。

SMAC法

MAC法を改良した方法です。

HSMAC法

MAC法を改良した方法です。（Highly Simplified Marker And Cell method）またはSOLA法（SOlution Algorithum）

フラクショナルステップ法

SIMPLE法

完全陰解法

SIMPLEC法

SIMPLE法を改良した方法です。

SIMPLER法

SIMPLE法を改良した方法です。

SIMPLEST法

SIMPLE法を改良した方法です。

PISO法

流れ関数ー渦度法

勉強中です。二次元の流れにしか適用できません。計算機の性能が今ほど優れていなかった時代によく用いられていました。当時の教科書には大体載っていましたが、現在では論文や本で見ることはほとんどありません。

文献まとめ

文献まとめを作成中です。なるべく網羅的なものにしたいです。

流体解析の基礎

作者: 河村哲也
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 2014/03/26
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流体計算と差分法

作者: 桑原邦郎,河村哲也
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 2005/03/01
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非圧縮性流体解析 (数値流体力学シリーズ)

作者: 河村哲也,平野広和,池川昌弘,川原睦人,登坂宣好,数値流体力学編集委員会
出版社/メーカー: 東京大学出版会
発売日: 1995/02
メディア: 単行本
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2019-07-24

【英語】"Sapiens: A Brief History of Humankind"『サピエンス全史』【9冊目】

英語語学学習

どんな本か？

Yuval Noah Harari 著 "Sapiens: A Brief History of Humankind" を読み終わりました。日本語の題は『サピエンス全史』です。ホリエモンも絶賛していました。この本は、人類はどうして発展することができたのか、そして今後人類はどうなっていくのか、を歴史上の例をふんだんに用いながら解説した名著です。歴史にとどまらず、あらゆる分野の知識を縦横無尽に使いこなしており、Jared Diamond の "Guns, Germs, and Steel: The Fates of Human Societies" を読んだ時のような知的興奮を覚えました。

Sapiens: A Brief History of Humankind

作者: Yuval Noah Harari
出版社/メーカー: Vintage
発売日: 2015/04/30
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サピエンス全史(上)文明の構造と人類の幸福

作者: ユヴァル・ノア・ハラリ,柴田裕之
出版社/メーカー: 河出書房新社
発売日: 2016/09/08
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サピエンス全史(下)文明の構造と人類の幸福

作者: ユヴァル・ノア・ハラリ,柴田裕之
出版社/メーカー: 河出書房新社
発売日: 2016/09/08
メディア: 単行本
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サピエンス全史　上下合本版　文明の構造と人類の幸福

作者: ユヴァル・ノア・ハラリ
出版社/メーカー: 河出書房新社
発売日: 2016/09/16
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Guns, Germs, and Steel: The Fates of Human Societies

作者: Jared Diamond
出版社/メーカー: W W Norton & Co Inc
発売日: 2017/03/07
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要点

3つの革命によりホモ・サピエンスが発展してきたことが解説されます。3つの革命とは、「認知革命」、「農業革命」、「科学革命」です。認知革命により、ホモ・サピエンスは虚構を信じることができるようになり、互いに協力することができるようになりました。その例が、国家、法人、通貨、宗教などです。どれも実際には存在していないものです。農業革命により、生産に余剰が生じ、その余剰を充てることにより、専門的な職業が誕生しました。また、人口が増加しました。科学革命により、ホモ・サピエンスは自らの力を増大させることができることに気付きました。進歩と成長により資本主義が生まれます。科学、資本主義、帝国の相互作用によりホモ・サピエンスは発展し、その結果として現在の我々の世界があります。そして、今後ホモ・サピエンスは、この力（遺伝子工学）を使ってホモ・サピエンスをホモ・サピエンスでない新たな人、superhuman（超人）を生み出していくことが示唆され、この本は終わります。

英文の難易度

原著はヘブライ語とのことですが、英語版も著者が書いているそうです。著者はヘブライ大学の教授で歴史学者です。もちろん校閲は入っているでしょうが、ノン・ネイティブなのにこんなに流暢な英文を書けるとは驚きです。英文の構文は素直で読みやすいです。ただ、単語のレベルは非常に高いです。現在私の語彙力は20,000前後あるはずですが、それでも1ページあたり3語ほど未知語が出てきます。しかし、逆に言えば単語の勉強にもなるということです。内容が面白いことは言うまでもありません。どんな単語が出てくるかについては、今後別の記事でまとめる予定です。

おわりに

Yuval Noah Harari 著 "Sapiens: A Brief History of Humankind" を読みました。今は Jared Diamond "Upheaval: How Nations Cope with Crisis and Change" を読んでいます。日本語訳はまだないのですが『激変』とすればよいでしょうか。この本は、フィンランド、チリ、日本、ドイツ、オーストラリア、インドネシア、アメリカの7つの国を取り上げ、それぞれの国がどのように危機的な状況を乗り越えたかが分析されます。今後の世界を生きていくうえで非常に有益な内容です。どうも、「選択的に変化すること」がキーワードですね。こちらも読み終えたらまとめていきます。

Upheaval: How Nations Cope with Crisis and Change

作者: Jared Diamond
出版社/メーカー: Allen Lane
発売日: 2019/05/07
メディア: ペーパーバック
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