数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。ドイツ語とかフランス語とか数値計算とか勉強したことをまとめます。右のカテゴリーから興味のある記事を探してください。最近はクラシックの名演も紹介しています。

【数物リンク】浅水流方程式の数値計算手法とRiemann問題についての解説

A. Siviglia著、"A short introduction to Finite volumes numerical methods for the solution of the Saint-Venant equations"のリンクです。浅水流方程式の数値計算手法とRiemann問題についての解説です。

https://www.ethz.ch/content/dam/ethz/special-interest/baug/ifu/env-fluid-mechanics-dam/documents/lecture-notes_FVM_Siviglia.pdf


まず一次元の浅水流方程式を紹介し、固有値などの性質をまとめています。次にダムブレイク問題(Riemann問題)の解を紹介していきます。このへんはToroの"Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows"をあらかじめ読んでおかないとわかりづらいです。そして数値解法として有限体積法(Godunov法)を紹介し、求めた解をもとにexact Riemann solverを紹介します。最後にそれに加えてapproximate Riemann solverを紹介して終わりです。ここではTwo-rarefaction Riemann solverとTwo-shock Riemann solverとHLLが載っています。


Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows

Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows


こちらもどうぞ。

【数物リンク】『非線形偏微分方程式へのある入門』

藤田宏著『非線形偏微分方程式へのある入門』のリンクです。熱方程式に二乗の形のソース項(非線形項)をつけた偏微分方程式を題材に、解の存在や一意性、爆発等について解説しています。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/butsuri1946/25/1/25_1_18/_pdf/-char/ja


例として「Navier-Stokes方程式の解の存在と一意性」に関する記述も出てきます。こちらもどうぞ。

【数物リンク】『Navier-Stokes方程式の数学的プロフイル』

藤田宏著『Navier-Stokes方程式の数学的プロフイル』のリンクです。いわゆる「Navier-Stokes方程式の解の存在と一意性」に関してその当時わかっていたことが整理されています。実は対談形式になっていて掛け合いもおもしろいです。

https://www.jstage.jst.go.jp/article/butsuri1946/17/4/17_4_260/_pdf/-char/ja


もちろん現在では学問も進歩しています。それは岡本久著『ナヴィエ‐ストークス方程式の数理』を読むのがよいと思います。私はまだ読んでいませんが…

ナヴィエ‐ストークス方程式の数理

ナヴィエ‐ストークス方程式の数理


藤田さんは『非線形最適制御入門』でもお世話になっています。

理解から応用への関数解析

理解から応用への関数解析


こちらもどうぞ。

【数物リンク】『アドバンスト制御のための変分法と最適制御』

大塚敏之著『アドバンスト制御のための変分法と最適制御』の第一回と第二回(全二回)のリンクです。変分法と最適制御について解説しています。「本講座では、変分法の初歩から出発して、最適制御問題の解が満たすべき条件や、最適制御問題の数値解法の考え方について概説する。全体を2回に分け、第1回の本稿では変分法の計算方法と最適制御が満たすべき条件を解説し、第2回で数値解法や関連する話題について述べる。学部生でも式を追うことができて概念の意味が理解できるよう丁寧に説明したい。」とのことです。この分野に非常に興味があるのに勉強が足りないので、オンライン上のリソースはありがたいです。

・第一回
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/45/10/45_10_899/_pdf/-char/ja

・第二回
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/46/9/46_9_745/_pdf/-char/ja

大塚さんは『非線形最適制御入門』という本も書いています。私も持っていますがまだ読んでいません。必ず読みます。

非線形最適制御入門 (システム制御工学シリーズ)

非線形最適制御入門 (システム制御工学シリーズ)

【クラシック】「バッハのチェンバロ協奏曲第1番 BWV 1052」by Pierre Hantaï

今回の曲は「バッハのチェンバロ協奏曲第1番 BWV 1052」です。演奏はPierre Hantaïです。

チェンバロ皆さん聞きますか?チェンバロは劣化ピアノではありません!香しい音色を持つ優れた楽器なのです!ピアノとは違って音が持続しないという特徴があります。これによって音がしゃきっとして聞こえて、聞いていて心地が良いのです。バッハはこの音が持続しないという特徴を補うために、チェンバロパートにかなりの音符をつめこんでいます。特に第1楽章と第3楽章が顕著ですね。規則的に鳴り続けるチェンバロの音が、まさにバロック、バッハの世界をあらわしているように思えるのです。


参考

演奏に合わせて楽譜が動く。

【クラシック】「ブラームスのハンガリー舞曲第4番」by Yehudi Menuhin(メニューイン)

今回はYehudi Menuhin(メニューイン)による「ブラームスハンガリー舞曲第4番」です。もとはピアノ曲でこれはヴァイオリン編曲版ということになります。恐らく「ハンガリー舞曲」と言ったら5番を思い浮かべるのでしょうが、4番も哀愁があってとてもよいのです。

若い頃の私は、この古き良き時代の演奏のとりこになり四六時中聞いていました。ゆったりとしたシフティング、無茶苦茶に見える豪快な弓使い、左手の膨らみ具合。どれをとっても最高ですね。メニューインの魅力が詰まった動画です。


参考

ハンガリー舞曲第5番。演奏メニューイン。この勢い。

【数値流体力学】"Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows"を読んでまとめます!

夏です!Toro著"Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows"を読んで内容をまとめていこうと思います!夏といったら浅水流方程式でしょう!

Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows

Shock-Capturing Methods for Free-Surface Shallow Flows


この本は碩学Toroの書いた、浅水流方程式に関する数値計算手法(有限体積法に基づくGodunov法)が解説してある本です。和書に類書はありません!学問するために英語を勉強することは現状では必要ですが、この本が日本語で読めればどんなによいでしょう!ゆえに私が解説していくことにも意味があるというものです。途中式や疑問に思った箇所も加筆して進めていきます。


『現代工学のためのルベーグ積分関数解析入門』という工学系の学生が現代数学を学ぶ際に必須と言ってもよい本があるのですが、その冒頭で著者が

かつて、アインシュタイン特殊相対性理論が始めて我が国に紹介されたとき、ある学者が「これを理解できる者は2・3人位だろう」と言ったと伝えられている。恐らくは自己の頭の良さを誇示したいが為の発言かと思われる。現在では、一寸気のきいた者なら高校生程度でもそれを理解できるようになっている。この原因は一体何か?多分いろいろあるのだろうけれど、大きなその原因の一つとして私は次の点にあると考えている。即ち、それはその後数多くの人々によっていろいろな立場から(訳本も入れて)特殊相対性理論の解説書が刊行され、それらが多くの人々に読まれた結果であると、少なくとも私はそう考えている。ルベーグ積分についてもいろいろな立場の人々が多くの解説書を世に出せば、必ずやそれは大衆のものになるであろうと思われるのである。昨日は1~3人の者しか理解出来なかったことが、今日は100~300人、明日は100万~300万人の人々が理解出来るようになることが、世の為人の為になり、人生を豊にする原動力となり、そしてそのことを人の世の発展と呼ぶのであれば、本書の刊行は意義あることであると考えられる。

と述べています。要約するとたくさんの人がいろいろな立場から解説することに意味があるということです。なので私もToroの本の解説をどんどん書いていこうと思います。乞うご期待。続く。