数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

【語学学習】誰でもできる簡単な単語暗記法

誰でもできる簡単な単語暗記法というセンセーショナルな見出しにしましたが、騙されたと思って是非以下に説明する方法を試してみてください。元手はゼロです。

例えば「apple」という単語があってその意味「りんご」を覚えたいとします。この場合、「apple りんご」と頭の中で20回繰り返します。大事なのは「apple」と書くときは頭の中で実際にペンで書いているようにイメージすることです。書き流すのではなく、なるべく一画一画書いた方が効果が高いように感じられます。「りんご」の部分は頭の中で発音するだけでOKです。嘘だと思うかもしれませんがこれだけです。

私がこの方法を思いついたのは『上達の技術』という本のおかげです。この本は「如何に上達するか」という課題に対して科学的に、定量的に取り組んでいる本です。勉強法や方法論を探している人は必読です。この本の中に「20秒かけて1つのことを記憶すれば、その記憶は短期記憶から長期記憶に移行して安定する」という記述があり、騙されたと思って実際に試してみたら難解な英単語を簡単に覚えることが出来たのです!ただ時間を毎回測るのは面倒なので20秒を20回にして使っています。また、この本の中に「脳にとって実際に物事を行うのとイメージするのは等価である」と書いてあり、びびっときた私は20回唱える際に実際に頭の中でその単語のスペリングを書いてみることにしたのです。そうすると、イメージしない時よりも(頭の中でただ「apple」と発音するだけよりも)記憶に残ることがわかりました。この2つの要素を組み合わせることによりかなり効果的に短期記憶を長期記憶に移行させることに成功したと思います。

上達の技術 一直線にうまくなるための極意 (サイエンス・アイ新書)

上達の技術 一直線にうまくなるための極意 (サイエンス・アイ新書)

単語の意味以外にも、活用の暗記や文章の暗唱にもこの方法は使うことができます。例えば、フランス語の動詞の活用だったら

je pars
tu pars
il part
nous parlons
vous parlez
ils parlent

を1セットとして20回繰り返すだけです。文章の暗唱の場合は

L'homme n'est qu'un roseau, le plus faible de la nature, mais c'est un roseau pensant.

と一文を20回繰り返してから次の文を

Il ne faut pas que l'univers entier s'arme pour l'écraser ; une vapeur, une goutte d'eau suffit pour le tuer.

と暗記していきます。文章を暗記しておくと、歩きながら復習ができるのでかなりおすすめです。活用の暗記や、文章の暗唱をやる際の注意事項としては、まず覚えるべきものを見ないで思い出せるようにしなければならないということです。一見これは難しそうですが、要するに短期記憶に入れてしまえばよいだけなので慣れれば簡単です。記憶力というやつはずっと続けていると筋肉のように発達してくるようです。

この方法で私はフランス語の活用をどんどん頭に突っ込んでいます。活用を覚えると文章が読めるようになり、フランス語の学習が加速します。

【語学学習】「Anki」を使ってフランス語の勉強を始めました

『朝倉初級フランス語』という100課から成る本でフランス語の勉強を始めました。フランス語学習の目的としては、なにより「フランス語で書かれた書物を読むこと」を最優先にしていきます。なので発音は適当に済ませてしまいます(こんなこと言うと怒られてしまうかもしれませんが、人生は有限なので取捨選択する必要があるのです)。Saint-Exupéryの"Le Petit Prince" (星の王子様)、Mériméeの"Carmen"、Oscar Wildeの"Salomé"、そして何よりPascalの"Pensées"(パンセ)を読みたいのです!

昔少々フランス語をやろうとしたことがあり、『朝倉初級フランス語』に取り組んだのですが、最初は30課あたりで、その次は60課あたりで見事に挫折しました。前述の事柄をちゃんと消化せずに先に進んでしまい、混乱して嫌になる、というパターンにはまっていました。

朝倉初級フランス語 (1965年)

朝倉初級フランス語 (1965年)

Ankiとは

そこで今回はスマホアプリを有効に使って語学学習を進めることにしました。具体的には「Anki」というアプリを使います。Ankiは暗記用のカードを自ら作成することができ、さらにそのカードの復習タイミングを自動で決定してくれるアプリです。これは本当に素晴らしいアプリで語学学習の心強い味方です!6年前にこのアプリの存在を知っていれば今頃私は英独仏がすらすら読めているでしょう…まあ済んだことを嘆いても仕方がないです。トイレや列に並んでいるときなど、いつでも語学学習ができるようになります。どうやらアンドロイドだとただで、iPhoneだと3,000円みたいです。私はアンドロイドなのでただで使わせて頂いていますが3,000円出す価値は十分にあると言えます。ちなみにパソコン版もありますが(フリー)どこでも学習できるという点でスマホが優れているので私は使っていません。
はじめてのAnki – まず使ってみる | the right stuff

AnkiMobile Flashcards

AnkiMobile Flashcards

  • Ankitects Pty Ltd
  • 教育
  • ¥3,000

Ankiの活用法

Ankiではカードを自分で作成できます。Ankiのカードは表面(問題)と裏面(答え)から構成されています。私はこれを以下のように勝手に三種類にして使っています。

1, フランス語の単語から日本語の意味を答える
2, フランス語の動詞から活用を答える
3, 文法事項に関する質問

まず1ですが、例えば表に「aimer」と書いて、裏に「愛する」と書けばどんどん単語の意味を覚えられます。次に2では、「avoirの現在形」と表に書き、裏に「j'ai tu as il a nous avons vous avez ils ont」のように書いて活用を覚えています。やはりフランス語初級においては活用の地道な暗記がかなりの部分を占めているようです。最後に3ですが、これは表に「大過去はどのようにあらわすか」と書き、裏に「半過去+過去分詞」のように書いています。あと用法が重要な単語、熟語には例文もつけます。例えば、表に「se trouver Je me trouverai chez vous à trois heures.」と書き、裏に「ある、いる」と書いています。単語を見ただけでは意味が分からない時に例文を見ます。私は例文には日本語訳をつけていませんがつけてもよいですね。2と3のやり方は意外と皆さんやっていないのではないでしょうか?是非試してみてください。使用法としては、教科書を読みつつ覚えていない単語、表現、文法事項をかたっぱしからAnkiに突っ込んでいくだけです。非常に簡単です。

ここでは述べませんでしたがもちろん「日本語からフランス語を答える」という形式もあり得ますし、有益です。しかし、今回の私の目的は「フランス語で書かれた書物を読むこと」なのでやっていません。各人の目的に合わせた使い方が出来たらベストですね。

Ankiの利点

「復習タイミングを自動で決定」してくれる機能が素晴らしいです。これはAnkiが忘却曲線に基づいて、忘れそうなタイミングでカードを出題してくれる機能です。覚えているカードはたまに出てくるだけなのに対して、あまり覚えていないカードは毎日出題されます。私も昔忘却曲線に基づいてカードを用いた暗記を始めようとしたことがありますが、どのカードをいつ復習するか管理するのが想像以上に面倒くさくて挫折しました。この面倒くさい作業を自動で行えるというのはただただ有難いです。さらに復習の強度(新出のカードや復習するカードの枚数は何枚)を自由に設定できるのもかゆいところに手が届きます。

最後に

Ankiを使って三度目の正直、フランス語を学習していきます。ちなみに私のやり方は読書猿さんの以下のブログにかなり影響を受けています。是非読んでみてください。参考になるでしょう。まったくすごいブログです。このブログからどれほど有益な情報、本を知ることができたでしょうか。

基本語5000辞典

ここ二年ほど、毎朝ドイツ語単語帳『ドイツ語基本語5000辞典』を1ページづつ覚えています。この白水社の『基本語5000辞典』にはドイツ語の他に、フランス語、ロシア語、スペイン語とあるのですが、ほぼ全ての単語に例文とその和訳がつけられているという素晴らしい代物です。私もスペイン語以外持っています。もう絶版ですので見つけたら必ず押さえてください。絶対に役に立ちます。私はドイツ語とフランス語は神保町で、ロシア語はAmazonで押さえました。いまだに時々見かけます。飲み会一回パスすれば買えます!

ドイツ基本語5000辞典

ドイツ基本語5000辞典

フランス基本語辞典

フランス基本語辞典

ロシア基本語辞典

ロシア基本語辞典

スペイン基本語5000辞典

スペイン基本語5000辞典


単語の覚え方は木田元のやり方を使っています。

人生力が運を呼ぶ

人生力が運を呼ぶ

闇屋になりそこねた哲学者 (ちくま文庫)

闇屋になりそこねた哲学者 (ちくま文庫)

これについては、他の記事で詳しく解説します。私はこの方法によって大幅に語彙力を増強しました。やはり語彙力が無いと洋書を読み進めるのはしんどいです。

【フランス語版Wikipedia】Burgers方程式―バーガース方程式ーその1

今回はBurgers方程式 Équation de Burgers — Wikipédia を訳していきます。すでに訳したドイツ語版 【ドイツ語】Burgers方程式―バーガース方程式 - 数学とか語学とか楽しいよね も参考にしてください。追々Burgers方程式に対する数値計算手法のまとめをつくりたいです。

Équation de Burgers
Burgers方程式


L'équation de Burgers est une équation aux dérivées partielles issue de la mécanique des fluides.

Burgers方程式は流体力学由来の偏微分方程式である。
・issue: 出身の、から生じた


Elle apparaît dans divers domaines des mathématiques appliquées, comme la modélisation de la dynamique des gaz, de l'acoustique ou du trafic routier.

この方程式は気体の運動、音響学または道路交通のモデル化のように応用数学の様々な分野に現れる。
・routier: 道路の


Elle doit son nom à Johannes Martinus Burgers qui l'a discutée en 1948.

この方程式はその名をJohannes Martinus Burgersに負っている。彼は1948年にこの方程式を論じている。


Elle apparaît dans des travaux antérieurs de Andrew Russel Forsyth et Harry Bateman.

この方程式はAndrew Russel ForsythとHarry Batemanの初期の仕事にもあらわれる。
・antérieur: 以前の、初期の

Formulation
定式化


En notant  u la vitesse, et  \nu le coefficient de viscosité cinématique, la forme générale de l'équation de Burgers est :
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac  {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.

 uを速度、 \nuを動粘性係数とすると、Burgers方程式の一般的な型は
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac  {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}
である。
・en+現在分詞: することによって、北鎌フランス語講座 - 文法編「分詞と分詞構文」 - 北鎌フランス語講座 - 文法編
・noter: 書く


Quand  \nu =0, l'équation de Burgers devient l'équation de Burgers sans viscosité :
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=0.

 \nu =0 のとき、Burgers方程式は、非粘性Burgers方程式
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=0
になる。


La matrice jacobienne de cette équation se réduit à la quantité scalaire  u, valeur réelle.

この方程式のJacobi行列は実数のスカラー量である  u になる。


Il s'agit donc d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.

ゆえに双曲型の偏微分方程式である。
・il s'agit: のだ、Il s’agit de|フランス語と英語


Elle peut donc comporter des discontinuités (ondes de choc).

この方程式は不連続(衝撃波)を含み得る。
・comporter: 含む


La forme conservative de cette équation est :
 {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(u^{2}\right)=0.

この方程式の保存形式は
 {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(u^{2}\right)=0
である。

【ドイツ語版Wikipedia】Rolleの定理(ロルの定理)

今日はRolleの定理(ロルの定理)のドイツ語版Wikipedia Satz von Rolle – Wikipedia を訳していきます。Rolleの定理は非常に地味な感じなのですが、平均値の定理やTylorの定理へとつながっていく大事な定理です。

Satz von Rolle
Rolleの定理


Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Rolleの定理(フランスの数学者Michel Rolleに因む)は微分法において中心的な定理である。

Aussage
命題

・Aussage: 命題、statement


Seien  a < b und  f:[a,b]\to \mathbb{R} eine stetige Funktion, die im offenen Intervall  (a,b) differenzierbar ist.

 a < b とし、  f:[a,b]\to \mathbb{R} を開区間  (a,b)微分可能な連続関数とする。
・stetige Funktion: 連続関数


Erfüllt sie  f(a)=f(b), so gibt es eine Stelle  x_{0}\in (a,b) mit
 f'(x_{0})=0.

もし  f(a)=f(b) ならば、 f'(x_{0})=0 を満たすような  x_{0}\in (a,b) が存在する。
・この倒置は仮定を表す、wennの省略。ドイツ語・動詞の位置 - 主文においては第二位と決まっていて、文... - Yahoo!知恵袋

Interpretation
解釈


Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion [x: f] gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, wo die Steigung gleich null ist.

これは以下のことをはっきりと意味している。関数 [x: f] のグラフにおいて、関数の値が一致する二点間において少なくともひとつ勾配が0と等しくなる点が存在する。
・anschauich: 目に見えるような、はっきりとした
・übereinstimmend: 一致した
・Steigung: f. 勾配


An dieser Stelle liegt die Tangente waagrecht und damit parallel zur x-Achse.

この点で接線は水平であり、故にx軸に対して平行になる。
・waagrecht: 水平の


Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

したがってこの定理は、微分可能な関数が0となるような点の間には微分が0になる点が存在する、ということを特に意味している。
・besagen: 意味する


Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine Erweiterung des Satzes von Rolle.

微分法における平均値の定理はRolleの定理の拡張である。
・Erweiterung: f. 拡張
・Mittelwert: m. 平均値


Da sich der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen lässt, sind beide Sätze äquivalent.

平均値の定理はRolleの定理を用いて証明されるので、両定理は同値である。

Beweis
証明


Da  f über dem kompakten Intervall  [a, b] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle  m\in [a,b] ein Minimum und an einer Stelle  M\in [a,b] ein Maximum an.

コンパクトな区間  [a, b] において  f が連続ならば、 [a, b] は(Weierstraßの定理により)ある点  m\in [a,b] で最小値をとり、ある点  M\in [a,b] で最大値をとる。


Ist  f nicht konstant, so muss wegen  f(a)=f(b) mindestens  m\in (a,b) oder  M\in (a,b) gelten.

もし  f が定数でないならば、 f(a)=f(b) なので少なくとも  m\in (a,b) または  M\in (a,b) が成り立つ。


Diese Extremalstelle sei mit  x_{0} bezeichnet.

この極値 x_{0} とする。


Ist  f konstant, so ist  x_{0}={\frac  {a+b}2} eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls  (a,b).

もし  f が定数ならば、極値区間  (a,b) に入るように  x_{0}={\frac  {a+b}2} とする。


Ist die innere Extremalstelle  x_{0} eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von  f an der Stelle  x_{0}, dass
 f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0
 f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0.
Somit ist  f'(x_{0})=0.

内部の極値  x_{0} が最大値ならば、 x_{0} における  f微分可能性から
 f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0
 f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0
が成り立つ。故に  f'(x_{0})=0 となる。


Ist  x_{0} eine Minimalstelle von  f, so ist  x_{0} eine Maximalstelle von  -f und wir erhalten  -f'(x_{0})=0 und somit  f'(x_{0})=0.

もし  x_{0} f の最小値ならば、 x_{0} -f の最大値であり、 -f'(x_{0})=0 が成り立つ。故に f'(x_{0})=0 となる。


Rolleの定理の重要性に私が気付かされたのは瀬山士郎の『「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内』のお蔭です。この本は大学初年度の微積分学、解析学ではまりやすい部分を丁寧に説明している快著です。一回生の頃の私にこの本を渡してあげたいです。そうしていれば今頃数学がばりばりできるようになっていたかも。是非ご一読下さい。

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内


他には金子晃の『数理系のための基礎と応用 微分積分〈1〉―理論を中心に』でL'Hôpitalの定理を導くためのCauchyの平均値の定理の導出に使われていたことが印象に残っています。

【ドイツ語版Wikipedia】Riemann問題ーその3

これで【ドイツ語】Riemann問題シリーズは終わりです。やはり付け焼刃のフランス語よりも曲りなりに2、3年続けているドイツ語のほうが訳しやすいですね。継続は力なりというやつです。

Linearer Fluss
線型の流束

Für den folgenden linearen Fluss:
 {\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}
sst sich die analytische Lösung berechnen.

以下のような線型の流束
 {\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}
に対して解析解が計算できる。


Für hyperbolische Probleme ist die Matrix  A immer diagonalisierbar:
 {\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}
mit einer Basistransformationsmatrix  {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}}.

双曲型の問題では行列  A は基底変換行列  {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}} を用いて
 {\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}
のようにつねに対角化可能である。


Mit der Transformation  {\displaystyle W:=T^{-1}U} kann man die PDE entkoppeln:
 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}

変数変換  {\displaystyle W:=T^{-1}U} を用いてその偏微分方程式を以下のように分解することができる。
 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}
・entkoppeln: 分解する、decouple


Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der  i. Zeile der PDE nur noch Ableitungen von  W_{i} vorkommen.

この場合分解とは偏微分方程式 i 番目の行には  W_{i}偏微分だけが存在することを意味する。
・die Ableitung: 偏微分
・vorkommen: 起こる、存在する


Jede einzelne Gleichung entspricht einer linearen, skalaren Transportgleichung und somit ist die Lösung einfach zu bestimmen:
 {\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t)}.

各方程式は線型のスカラーに対する輸送方程式であり、したがって簡単に解を定めることが出来る。
 {\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t)}
・somit: だから、したがって
・entsprechen: 一致する、correspond


Rücktransformation ergibt nun die gesuchte Lösung:
 {\displaystyle U(x,t)=TW(x,t)}.

逆変換によって探していた解を得る。
 {\displaystyle U(x,t)=TW(x,t)}


Man kann die Lösung auch anders erhalten, indem man den Sprung der Anfangswerte in der neuen Basis darstellt:
 {\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{mit }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} },
wobei die  {\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}} die Eigenvektoren von  A sind (also:  {\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})}).

初期値のジャンプを新しい基底で表現することによって、他の方法でも解を得ることが出来る。
 {\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{with }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} }
ここで  {\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}} A固有ベクトルである(すなわち  {\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})})。
・indem: することによって、接続詞


Nun ist die Lösung gegeben als:
 {\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}}.

解はこのようになる。
 {\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}}


最後の話はこの記事だけからは理解できないですね。Toroの赤の書2章に詳しく書いてあります。そのうち自分でRiemann問題の解説を書きたいと考えています。

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction

【ドイツ語版Wikipedia】Riemann問題ーその2

見返してみたら【ドイツ語】Riemann問題も全部訳し終わってないですね。ドイツ語のほうのRiemann問題も進めていきましょう。Wikipediaの記事は専門的な内容だと英語版を翻訳してものが多い印象ですね。日本語の記事も丸々英語の翻訳であることがあります。

Erhaltungsgleichung in nD
N次元における保存方程式


Als wichtige hyperbolische partielle Differentialtialgleichung kann man Erhaltungsgleichungen des folgenden Typs betrachten:
 {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}
wobei  {\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}} und  {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} gilt.

重要な双曲型偏微分方程式として以下のような型の保存方程式を考えることが出来る。
 {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}
ここで  {\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} である。
・betrachten: 考察する


Bei dem Riemann-Problem gilt nun für den Anfangswert:
 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}}
für  {\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}}.

 {\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}} とするとき、Riemann問題に対して初期値は
 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}}
である。