数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。ドイツ語とかフランス語とか数値計算とか勉強したことをまとめます。

【数値計算】二次精度風上差分の導出

二次精度風上差分の導出をやります。備忘録みたいなものです。点  i を中心に上流側二点の値を使うのが二次精度風上差分です。具体的には、流速が  V_i \geq 0 のときは  i i-1 i-2 の情報を使います。一方、流速が  V_i < 0 のときは  i i+1 i+2 の情報を使います。まず、 V_i \geq 0 のときから考えていきます。まず  u_{i-1} u_{i-2} の値を  u_i を中心としてTaylor展開します。


 \displaystyle u_{i-1} = u_{i} - \Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]
 \displaystyle u_{i-2} = u_{i} - 2\Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (2\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]

二階微分の項を消すために  4u_{i-1} から  u_{i-2} を引きます。すると

 \displaystyle 4u_{i-1} - u_{i-2} = 3u_{i} - 2\Delta x u'_{i} + O[(\Delta x)^3]

となります。これを  u'_i について解くと

 \displaystyle u'_{i} = \frac{3u_{i} - 4u_{i-1} + u_{i-2}}{2\Delta x} + \frac{O[(\Delta x)^3]}{\Delta x} = \frac{3u_{i} - 4u_{i-1} + u_{i-2}}{2\Delta x} + O[(\Delta x)^2]

となります。つまり二次精度になっています。

同様にして次は、 V_i < 0 のときを考えていきます。まず  u_{i+1} u_{i+2} の値を  u_i を中心としてTaylor展開します。


 \displaystyle u_{i+1} = u_{i} + \Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]
 \displaystyle u_{i+2} = u_{i} + 2\Delta x \frac{u'_{i}}{1!} + (2\Delta x)^2 \frac{u''_{i}}{2!} + O[(\Delta x)^3]

二階微分の項を消すために  4u_{i+1} から  u_{i+2} を引きます。すると

 \displaystyle 4u_{i+1} - u_{i+2} = 3u_{i} + 2\Delta x u'_{i} + O[(\Delta x)^3]

となります。これを  u'_i について解くと

 \displaystyle u'_{i} = \frac{-3u_{i} + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta x} + \frac{O[(\Delta x)^3]}{\Delta x} = \frac{-3u_{i} + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta x} + O[(\Delta x)^2]

となります。つまり二次精度になっています。

まとめると


 \displaystyle 
\left.V\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i = 
\begin{cases} 
\displaystyle V_i\frac{3u_{i} - 4u_{i-1} + u_{i-2}}{2\Delta x} & (V_i \geq 0)\\ 
\displaystyle V_i\frac{-3u_{i} + 4u_{i+1} - u_{i+2}}{2\Delta x} & (V_i < 0)
\end{cases}

となります。これが二次精度の風上差分です。

【数値計算】風上差分の中心差分+数値拡散表示

風上差分の中心差分+数値拡散表示の導出をやります。ポイントは風向きの正負によらない表示です。まず、 u_i を節点  i における濃度ないしは熱、 V_i を節点  i における流速、 x を空間座標としたとき、風上差分は


 \displaystyle 
\left.V\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i = 
\begin{cases} 
\displaystyle V_i\frac{u_i - u_{i-1}}{\Delta x} & (V_i \geq 0)\\ 
\displaystyle V_i\frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x} & (V_i < 0)
\end{cases}

のように書けます。風上側(情報が伝わってくる側)の値を使うことで安定的に計算を行うことができます。ここで

 \displaystyle 
\frac{V_i+|V_i|}{2}= 
\begin{cases} 
\displaystyle V_i & (V_i \geq 0)\\ 
\displaystyle 0 & (V_i < 0)
\end{cases}  \displaystyle 
\frac{V_i-|V_i|}{2}= 
\begin{cases} 
\displaystyle 0 & (V_i \geq 0)\\ 
\displaystyle V_i & (V_i < 0)
\end{cases}

というちょっとテクニカルな関係を使います。落ち着いて絶対値をはずしてみればたいしたことはありません。上の関係をよく見ると、 V_i \geq 0 のとき  V_i=\frac{V_i+|V_i|}{2} に、 V_i < 0 のとき  V_i=\frac{V_i-|V_i|}{2} になっていることに気づきます(よく見て下さい)。なので、これらを風上差分の式の  V_i に代入してみましょう。すると

 \displaystyle 
\left.V\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i = 
\begin{cases} 
\displaystyle \frac{V_i+|V_i|}{2} \frac{u_i - u_{i-1}}{\Delta x} & (V_i \geq 0)\\ 
\displaystyle \frac{V_i-|V_i|}{2} \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x} & (V_i < 0)
\end{cases}

となります。さらに、  \boldsymbol{\frac{V_i+|V_i|}{2} \frac{u_i - u_{i-1}}{\Delta x}}  \boldsymbol{\frac{V_i-|V_i|}{2} \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x}} を足してしまいます!するとそれは風上差分と等しくなっているのです!すなわち

 \displaystyle \left.V\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i = 
\frac{V_i+|V_i|}{2} \frac{u_i - u_{i-1}}{\Delta x} + \frac{V_i-|V_i|}{2} \frac{u_{i+1} - u_i}{\Delta x}

です。何故そんなことができるか?それは場合分けして考えるとわかります。まず  V_i \geq 0 のときは

 \displaystyle \frac{V_i+|V_i|}{2}=V_i かつ  \displaystyle \frac{V_i-|V_i|}{2}=0

なので和の二項目が消えて風上差分と等しくなります。また  V_i < 0 のときは

 \displaystyle \frac{V_i+|V_i|}{2}=0 かつ  \displaystyle \frac{V_i-|V_i|}{2}=V_i

なので和の一項目が消えて風上差分と等しくなります。

さらに式を  V_i |V_i| で整理すると結局


 \displaystyle \left.V\frac{\partial u}{\partial x}\right|_i = 
V_i \frac{u_{i+1} - u_{i-1}}{2 \Delta x} - \frac{|u_i| \Delta x}{2} \frac{u_{i+1} - 2 u_i + u_{i-1}}{(\Delta x)^2}

となります。この式の一項目は、一階微分に対する中心差分に、二項目は二階微分に対する中心差分となっているので、風上差分の中心差分+数値拡散表示を得ることができました。これは風向きの正負によらない表示でもあります。

【語学学習】ラテン語の初級を学ぶためにどんな本を読んだらいいか?

河島思朗著『基本から学ぶラテン語』を読み終わりました。情報が詰め込まれすぎていない、活用表のレイアウトが非常に見やすい、例文が長すぎず複雑すぎない、初級の文法はきちんと押さえてある、という素晴らしい本でした。ラテン語をはじめようと思っている方に是非おすすめした一冊です。難易度的にはこの本が一番やさしいのではないでしょうか(文法を網羅していない紹介的な本は除いて)。大西英文著『はじめてのラテン語』や山下太郎著『しっかり学ぶ初級ラテン語』よりもとっつきやすく、通読できる可能性が高いのではないでしょうか。有田潤著『初級ラテン語入門』もラテン語の文をどんどん読ませる素晴らしい本なのですが、初級文法を網羅していないのでこれで初級文法を終わりにすることができないのです。

学習順序としては、読み物的な本、初級文法を概観する本、初級文法を網羅した本という順序で


1, 逸身喜一郎著 『ラテン語のはなし―通読できるラテン語文法』、
 小林標著『ラテン語の世界―ローマが残した無限の遺産』、
 小倉博行著『ラテン語のしくみ』
2, 河島思朗著『基本から学ぶラテン語
3, 大西英文著『はじめてのラテン語
4, 有田潤著『初級ラテン語入門』
5, 山下太郎著『しっかり学ぶ初級ラテン語


のような感じでしょうか。私は次は『しっかり学ぶ初級ラテン語』をやります。実は一度やって半分で挫折してしまいました。後半の活用、曲用ラッシュに消化不良に陥りやる気がなくなってしまったのです…でも、今回は初級文法は概観してきたので読み切れるはず。頑張ります!『しっかり学ぶ初級ラテン語』を読み切り、消化したら初級文法は一応終わりということにしてよいでしょう。


基本から学ぶラテン語

基本から学ぶラテン語

はじめてのラテン語 (講談社現代新書)

はじめてのラテン語 (講談社現代新書)

初級ラテン語入門

初級ラテン語入門

しっかり学ぶ初級ラテン語 (Basic Language Learning Series)

しっかり学ぶ初級ラテン語 (Basic Language Learning Series)

ラテン語のはなし―通読できるラテン語文法

ラテン語のはなし―通読できるラテン語文法

ラテン語の世界―ローマが残した無限の遺産 (中公新書)

ラテン語の世界―ローマが残した無限の遺産 (中公新書)

ラテン語のしくみ (言葉のしくみ)

ラテン語のしくみ (言葉のしくみ)

全てのラテン語の教科書について言えると思うのですが、接続法が出てきてからがしんどいです。何も知らずに読んでいくと、接続法が出てきた途端に覚える活用の量が二倍になって絶望してしまうのです。もっとちょびちょび接続法を出していく方法で書いたらすごい良いラテン語の入門書が書けるかもしれません。

【数値計算】流束制限関数とは何だろう?そのアイディア

流束制限関数というのは、数値流体力学において双曲型の方程式を効率良く解くために考案された手法です。以下にそのアイディアを示します。


移流方程式に対して高次精度の差分を使うと衝撃波(解の勾配がきつくなる所)
近辺で数値解が振動してしまう、つまり正しい解を得られなくなってしまう。

一次精度の風上差分を使うと衝撃波近辺でも数値解は振動しないが、
数値拡散が強く衝撃波がなまってしまう。

高次精度の差分と一次精度の風上差分のよいとこどりをした手法を作ろう。

こうしたアイディアのもと考案されたのが流束制限関数(flux limiter)です。例えばminmodとかsuperbeeとか色々な種類のlimiterがあります。流束制限関数を用いて風上差分と高次の差分をつなぎます。衝撃波の近辺では風上差分で、十分解が滑らかな領域では高次の差分に切り替えて計算を行います。

次回は、数値流束の話、minmodとかsuperbeeの具体的な形やその実装を見ていきましょう。

【数値計算】一次元非定常拡散方程式を有限要素法で解く C++コード付き

今回は一次元非定常拡散方程式を有限要素法で解いていきます。C++コード付きです。一次元非定常拡散方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に三番目に解くべき方程式です。

一次元非定常拡散方程式とは

 \displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} in  [0, L]

のような偏微分方程式のことをいいます。ここで、 u(t,x) は熱や溶質の濃度、 D は拡散の効果を表す拡散係数と解釈することができます。熱またはある溶質が時間が経過するにつれてどのような分布をとるか(拡散していくか)求めるのがこの問題です。 u は時間方向と空間方向ともに変化するので二変数関数  u(t,x) となっています。前に説明した一次元Poisson方程式を時間発展させたものにあたります。今回も二次元配列を使うコードと一次元配列だけで処理するコードの両方を公開します。境界条件は前回と同じく3パターン用意しました。すなわち、

Case 1,  x=0 x=L でDirichlet条件を課す
 u(t,0) u(t,L) の値を指定)
Case 2,  x=0 でNeumann条件、 x=L でDirichlet条件を課す
 \frac{ \partial u }{ \partial x }(t,0) u(t,L) の値を指定)
Case 3,  x=0 でDirichlet条件、 x=L でNeumann条件を課す
 u(t,0)\frac{ \partial u }{ \partial x }(t,L) の値を指定)

です。それぞれコード上ではbc=1、bc=2、bc=3に対応しています。連立一次方程式の解法はGauss-Seidel法を用いています。空間方向の離散化はGalerkin法、時間方向は  \theta 法で離散化しており、今回は  \theta=0.5 のCrank-Nicolson法を用いています。ちなみに、 \theta=0 のとき前進Euler法(陽解法、explicit scheme)に、 \theta=1 のときに後退Euler法(完全陰解法、implicit scheme)になります。これらについても今後まとめる予定です。

計算条件については以下のように設定しています。まず、拡散方程式を解く領域は  x\in[0,1]、要素数は100、節点数は101で等分割( \Delta x=1/100=0.01)、時間刻みは  \Delta t=0.001、計算終了時刻は  t=10、拡散係数は  D=0.01 \theta=0.5境界条件はbc=1(両側Dirichlet条件)で u(t,0)=0 u(t,1)=0、初期条件は頂点の値が0.5の三角形(下の図参照)です。初期時刻に三角形のような熱の分布を与え、棒の両側をずっと0℃で冷やしたときに、棒の熱はある時間位どのような分布をとるか、という問題です。答えは"answer.txt"に出力されます。横方向が  x に対応しています。一行目が  x 座標、二行目が初期条件(時刻  t=0 における  u の分布、つまり  u(0,x))、三行目が時刻  t=1 における  u の分布( u(1,x))、…となっています。


まずは二次元配列を使う方です。
(準備中)


次に一次元配列だけで処理する方です。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//Gauss-Seidel
inline void GS(vector<double> &AD,vector<double> &AL,vector<double> &AR,vector<double> &BD,vector<double> &BL,vector<double> &BR,vector<double> &x,vector<double> &xx,vector<double> &b, int &Node, double &eps, int &bc, double &D0,double &D1,double &N0,double &N1)
{
	int i,k;
	double in,max;
	for(k=0;k<100000;k++)
	{
		if(bc==1)
		{
			b[0]=D0;
			b[Node-1]=D1;
		}
		if(bc==2)
		{
			b[Node-1]=D1;
			b[0]=BD[0]*x[0]+BR[0]*x[1]-N0;
		}
		if(bc==3)
		{
			b[0]=D0;
			b[Node-1]=BL[Node-1]*x[Node-2]+BD[Node-1]*x[Node-1]+N1;
		}
		
		for(i=1;i<Node-1;i++)
		{
			b[i]=BL[i]*x[i-1]+BD[i]*x[i]+BR[i]*x[i+1];
		}
		
		max=0.0;
		in=xx[0];
		xx[0]=(b[0]-AR[0]*xx[1])/AD[0];
		if(max<abs(in-xx[0])) max=abs(in-xx[0]);
		for(i=1;i<Node-1;i++)
		{
			in=xx[i];
			xx[i]=(b[i]-(AL[i]*xx[i-1]+AR[i]*xx[i+1]))/AD[i];
			if(max<abs(in-xx[i])) max=abs(in-xx[i]);
		}
		in=xx[Node-1];
		xx[Node-1]=(b[Node-1]-AL[Node-1]*xx[Node-2])/AD[Node-1];
		if(max<abs(in-xx[Node-1])) max=abs(in-xx[Node-1]);
		if(eps>max) break;
	}
}

inline void mat(vector<double> &AD,vector<double> &AL,vector<double> &AR,vector<double> &BD,vector<double> &BL,vector<double> &BR,vector<double> &b, vector<double> &f, int &Ele, double &dx, double &Diff, double &dt, double &theta)
{
	int i;
	for(i=0;i<Ele;i++)
	{
		//A//
		AD[i]+=dx*2.0/6.0/dt+theta*Diff/dx;
		AR[i]+=dx*1.0/6.0/dt+theta*-Diff/dx;
		AL[i+1]+=dx*1.0/6.0/dt+theta*-Diff/dx;
		AD[i+1]+=dx*2.0/6.0/dt+theta*Diff/dx;
		
		//B//
		BD[i]+=dx*2.0/6.0/dt-(1.0-theta)*Diff/dx;
		BR[i]+=dx*1.0/6.0/dt-(1.0-theta)*-Diff/dx;
		BL[i+1]+=dx*1.0/6.0/dt-(1.0-theta)*-Diff/dx;
		BD[i+1]+=dx*2.0/6.0/dt-(1.0-theta)*Diff/dx;
	}
}

inline void boundary(int &bc,vector<double> &AD,vector<double> &AL,vector<double> &AR,vector<double> &BD,vector<double> &BL,vector<double> &BR,vector<double> &b,int &Node)
{
	if(bc==1)
	{
		AD[0]=1.0;AR[0]=0.0;BD[0]=1.0;BR[0]=0.0;
		AL[Node-1]=0.0;AD[Node-1]=1.0;BL[Node-1]=0.0;BD[Node-1]=1.0;
	}
	if(bc==2)
	{
		AL[Node-1]=0.0;AD[Node-1]=1.0;BL[Node-1]=0.0;BD[Node-1]=1.0;
	}
	if(bc==3)
	{
		AD[0]=1.0;AR[0]=0.0;BD[0]=1.0;BR[0]=0.0;
	}
}

int main()
{
	int i,j;
	int Ele=100;
	int Node=Ele+1;
	double LL=1.0;
	double dx=LL/Ele;
	double dt=0.001;
	double NT=10000;
	double eps=pow(2.0,-50);
	double Diff=0.01;
	double theta=0.5;
	int bc=1;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=0.0;
	double N0=0.0;
	double N1=0.0;
	vector<double> b(Node,0.);
	vector<double> x(Node,0.);
	vector<double> xx(Node,0.);
	vector<double> f(Node,0.);
	vector<double> AD(Node,0.);
	vector<double> AL(Node,0.);
	vector<double> AR(Node,0.);
	vector<double> BD(Node,0.);
	vector<double> BL(Node,0.);
	vector<double> BR(Node,0.);
	
	ofstream fk;
	fk.open("answer.txt");
	
	for(i=0;i<Node;i++) fk<<dx*float(i)<<" ";
	fk<<endl;
	
	//initial condition//
	for(i=0;i<Node;i++)
	{
		x[i]=min(dx*float(i),1.0-dx*float(i));
		fk<<x[i]<<" ";
	}
	fk<<endl;
	
	
	mat(AD,AL,AR,BD,BL,BR,b,f,Ele,dx,Diff,dt,theta);
	boundary(bc,AD,AL,AR,BD,BL,BR,b,Node);
	
	for(i=1;i<=NT;i++)
	{
		GS(AD,AL,AR,BD,BL,BR,x,xx,b,Node,eps,bc,D0,D1,N0,N1);
		for(j=0;j<Node;j++) x[j]=xx[j];
		
		if(i%1000==0)
		{
			cout<<i<<endl;
			for(j=0;j<Node;j++) fk<<x[j]<<" ";
			fk<<endl;
		}
	}
	
	return 0;
}


以下が計算結果の図です。初期に与えた三角形の熱の分布が時間が経過するにつれてどんどんなまっていく様子が観察できます。両端を冷やしているので棒がどんどん冷めていくのです。もっと時間進行させると領域全体で熱の分布が0に収束していくのが観察できます。


f:id:mutsumunemitsutan:20171121215655p:plain:w450

ゆくゆくはこのブログだけで有限要素法やいろいろな語学を学べる、self-contained(必要なものが全てそろった)もなのにしていきたいと考えています。なので、記事を読んでいて説明が不足しているなと思われたり、わかりづらいなと思われる箇所がありましたら報せて頂けると幸いです。

離散化の詳細はお待ちください。

【数値計算】一次元定常移流拡散方程式を有限要素法で解く C++コード付き

今回は一次元定常移流拡散方程式を有限要素法で解いていきます。C++コード付きです。一次元定常移流拡散方程式は、前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に二番目に解くべき方程式です。

一次元定常移流拡散方程式とは

 \displaystyle V\frac{ \mathrm{d}u }{ \mathrm{d}x } -D\frac{ \mathrm{d^2}u }{ \mathrm{d}x^2 }=0 in  [0, L]

のような二階の常微分方程式のことをいいます。ここで、 u は溶質の濃度、 V は風などによる移流速度、 D は拡散の効果を表す拡散係数と解釈することができます。ある溶質が移流や拡散のもとでどのような分布をとるか求めるのがこの問題です。

前回の一次元Poisson方程式に移流行列を加えるだけなので簡単です。今回も二次元配列を使うコードと一次元配列だけで処理するコードの両方を公開します。境界条件は前回と同じく3パターン用意しました。すなわち、

Case 1,  x=0 x=L でDirichlet条件を課す
 u(0) u(L) の値を指定)
Case 2,  x=0 でNeumann条件、 x=L でDirichlet条件を課す
 \frac{ \mathrm{d}u }{ \mathrm{d}x }(0) u(L) の値を指定)
Case 3,  x=0 でDirichlet条件、 x=L でNeumann条件を課す
 u(0) \frac{ \mathrm{d}u }{ \mathrm{d}x }(L) の値を指定)

です。それぞれコード上ではbc=1、bc=2、bc=3に対応しています。連立一次方程式の解法はGauss-Seidel法を用いています。


まずは二次元配列を使う方です。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//inner product//
inline double ip(vector<double> &a, vector<double> &b, int &Node)
{
	double value=0.;
	int i;
	for(i=0;i<Node;i++) value+=a[i]*b[i];
	return value;
}

//Gauss-Seidel
inline void GS(vector<vector<double> > &A,vector<double> &x,vector<double> &b, int &Node, double &eps)
{
	int i,k;
	double in,sum,max;
	for(k=0;k<100000;k++)
	{
		max=0.0;
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			in=x[i];
			x[i]=(b[i]-(ip(A[i],x,Node)-A[i][i]*x[i]))/A[i][i];
			if(max<abs(in-x[i])) max=abs(in-x[i]);
		}
		if(eps>max) break;
	}
}

inline void mat(vector<vector<double> > &A,vector<double> &b, vector<double> &f, int &Ele, double &dx,double &D,double &V)
{
	int i;
	for(i=0;i<Ele;i++)
	{
		//Diffusion//
		A[i][i]+=D/dx;A[i][i+1]+=-D/dx;
		A[i+1][i]+=-D/dx;A[i+1][i+1]+=D/dx;
		
		//Advection//
		A[i][i]+=-V/2.0;A[i][i+1]+=V/2.0;
		A[i+1][i]+=-V/2.0;A[i+1][i+1]+=V/2.0;
		
		//Source//
		b[i]+=(2.0*f[i]+1.0*f[i+1])*dx/6.0;
		b[i+1]+=(1.0*f[i]+2.0*f[i+1])*dx/6.0;
	}
}

inline void boundary(int &bc,double &D0,double &D1,double &N0,double &N1,vector<vector<double> > &A,vector<double> &b,int &Node)
{
	int i;
	if(bc==1)
	{
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			A[0][i]=0.0;
			A[Node-1][i]=0.0;
		} 
		A[0][0]=1.0;b[0]=D0;
		A[Node-1][Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
	}
	if(bc==2)
	{
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			A[Node-1][i]=0.0;
		} 
		A[Node-1][Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
		b[0]+=-N0;
	}
	if(bc==3)
	{
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			A[0][i]=0.0;
		} 
		A[0][0]=1.0;b[0]=D0;
		b[Node-1]+=N1;
	}
}

int main()
{
	int i;
	int Ele=100;
	int Node=Ele+1;
	double L=1.0;
	double dx=L/Ele;
	double D=0.01;
	double V=0.1;
	double eps=pow(2.0,-50);
	int bc=1;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=1.0; 
	double N0=0.0;
	double N1=2.0;
	vector<double> b(Node,0.);
	vector<double> x(Node,0.);
	vector<double> f(Node,0.);
	vector<vector<double> > A(Node,(vector<double>(Node,0.)));
	
	ofstream fk;
	fk.open("answer.txt");
	
	mat(A,b,f,Ele,dx,D,V);
	boundary(bc,D0,D1,N0,N1,A,b,Node);
	GS(A,x,b,Node,eps);
	
	for(i=0;i<Node;i++) cout<<x[i]<<endl;
	for(i=0;i<Node;i++) fk<<dx*i<<" "<<x[i]<<endl;

	return 0;
}


次に一次元配列だけで処理する方です。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//Gauss-Seidel
inline void GS(vector<double> &D,vector<double> &L,vector<double> &R,vector<double> &x,vector<double> &b, int &Node, double &eps)
{
	int i,k;
	double in,sum,max;
	for(k=0;k<100000;k++)
	{
		max=0.0;
		in=x[0];
		x[0]=(b[0]-R[0]*x[1])/D[0];
		if(max<abs(in-x[0])) max=abs(in-x[0]);
		for(i=1;i<Node-1;i++)
		{
			in=x[i];
			x[i]=(b[i]-(L[i]*x[i-1]+R[i]*x[i+1]))/D[i];
			if(max<abs(in-x[i])) max=abs(in-x[i]);
		}
		in=x[Node-1];
		x[Node-1]=(b[Node-1]-L[Node-1]*x[Node-2])/D[Node-1];
		if(max<abs(in-x[Node-1])) max=abs(in-x[Node-1]);
		if(eps>max) break;
	}
}

inline void mat(vector<double> &D,vector<double> &L,vector<double> &R,vector<double> &b, vector<double> &f, int &Ele, double &dx, double &V, double &Diff)
{
	int i;
	for(i=0;i<Ele;i++)
	{
		//Diffusion//
		D[i]+=Diff/dx;R[i]+=-Diff/dx;
		L[i+1]+=-Diff/dx;D[i+1]+=Diff/dx;
		
		//Advection//
		D[i]+=-V/2.0;R[i]+=V/2.0;
		L[i+1]+=-V/2.0;D[i+1]+=V/2.0;
		
		//Source//
		b[i]+=(2.0*f[i]+1.0*f[i+1])*dx/6.0;
		b[i+1]+=(1.0*f[i]+2.0*f[i+1])*dx/6.0;
	}
}

inline void boundary(int &bc,double &D0,double &D1,double &N0,double &N1,vector<double> &D,vector<double> &L,vector<double> &R,vector<double> &b,int &Node)
{
	if(bc==1)
	{
		D[0]=1.0;R[0]=0.0;b[0]=D0;
		L[Node-1]=0.0;D[Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
	}
	if(bc==2)
	{
		L[Node-1]=0.0;D[Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
		b[0]+=-N0;
	}
	if(bc==3)
	{
		D[0]=1.0;R[0]=0.0;b[0]=D0;
		b[Node-1]+=N1;
	}
}

int main()
{
	int i;
	int Ele=100;
	int Node=Ele+1;
	double LL=1.0;
	double dx=LL/Ele;
	double eps=pow(2.0,-50);
	double Diff=0.01;
	double V=0.1;
	int bc=1;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=1.0; 
	double N0=0.0;
	double N1=2.0;
	vector<double> b(Node,0.);
	vector<double> x(Node,0.);
	vector<double> f(Node,0.);
	vector<double> D(Node,0.);
	vector<double> L(Node,0.);
	vector<double> R(Node,0.);
	
	ofstream fk;
	fk.open("answer.txt");
	
	mat(D,L,R,b,f,Ele,dx,V,Diff);
	boundary(bc,D0,D1,N0,N1,D,L,R,b,Node);
	GS(D,L,R,x,b,Node,eps);
	
	for(i=0;i<Node;i++) cout<<x[i]<<endl;
	for(i=0;i<Node;i++) fk<<dx*i<<" "<<x[i]<<endl;

	return 0;
}


こちらの離散化も詳しく書く予定です。Galerkin法では移流が卓越する場合をきちんと扱えないので、移流方向を考慮した離散化「Petrov-Galerkin法」を使う必要があります。それも後程。書きたいこと、書かねばならぬことが山のようにあります。ひとつずつ着実に消化していきたいです。

【数値計算】一次元Poisson方程式(ポアソン方程式)を有限要素法で解く C++コード付き

今回は有限要素法の勉強で最初に解くであろう、一次元Poisson方程式のC++コードを公開します。前に書いた記事「有限要素法のプログラミングを勉強するときにどの順序で学ぶのがよいか?」で紹介した、有限要素法を学ぶ場合に、最初に解くべき方程式です。

普通のGalerkin法で離散化しています。コードは2パターン用意してあります。二次元配列を使うコードと、一次元配列だけで処理しているコードです。二次元配列を使ったほうが行列を足し合わせるときにわかりやすいので、初心者の方はそれでよいと思います。ただ要素数が増えてくると、二次元配列は重いので一次元配列のみで処理するのがおすすめです。

Poisson方程式とは

 \displaystyle \Delta u+f=0

のような二階の偏微分方程式のことを言います。ここで  f は既知の関数です。一次元の場合は

 \displaystyle \frac{ \mathrm{d^2}u }{ \mathrm{d}x^2 }+f=0

となります。以下では領域を  x\in[0,L] とし、  f=1 とします。境界条件は3パターン扱うことができるようにつくってあります。すなわち、

Case 1,  x=0 x=L でDirichlet条件を課す
 u(0) u(L) の値を指定)
Case 2,  x=0 でNeumann条件、 x=L でDirichlet条件を課す
 \frac{ \mathrm{d}u }{ \mathrm{d}x }(0) u(L) の値を指定)
Case 3,  x=0 でDirichlet条件、 x=L でNeumann条件を課す
 u(0) \frac{ \mathrm{d}u }{ \mathrm{d}x }(L) の値を指定)

です。それぞれコード上ではbc=1、bc=2、bc=3に対応しています。連立一次方程式の解法はGauss-Seidel法を用いています。詳しくは以下の記事を参考にして下さい。


まずは二次元配列を使う方からです。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//inner product//
inline double ip(vector<double> &a, vector<double> &b, int &Node)
{
	double value=0.;
	int i;
	for(i=0;i<Node;i++) value+=a[i]*b[i];
	return value;
}

//Gauss-Seidel
inline void GS(vector<vector<double> > &A,vector<double> &x,vector<double> &b, int &Node, double &eps)
{
	int i,k;
	double in,sum,max;
	for(k=0;k<100000;k++)
	{
		max=0.0;
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			in=x[i];
			x[i]=(b[i]-(ip(A[i],x,Node)-A[i][i]*x[i]))/A[i][i];
			if(max<abs(in-x[i])) max=abs(in-x[i]);
		}
		if(eps>max) break;
	}
}

inline void mat(vector<vector<double> > &A,vector<double> &b, vector<double> &f, int &Ele, double &dx)
{
	int i;
	for(i=0;i<Ele;i++)
	{
		A[i][i]+=1.0/dx;A[i][i+1]+=-1.0/dx;
		A[i+1][i]+=-1.0/dx;A[i+1][i+1]+=1.0/dx;
		b[i]+=(2.0*f[i]+1.0*f[i+1])*dx/6.0;
		b[i+1]+=(1.0*f[i]+2.0*f[i+1])*dx/6.0;
	}
}

inline void boundary(int &bc,double &D0,double &D1,double &N0,double &N1,vector<vector<double> > &A,vector<double> &b,int &Node)
{
	int i;
	if(bc==1)
	{
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			A[0][i]=0.0;
			A[Node-1][i]=0.0;
		} 
		A[0][0]=1.0;b[0]=D0;
		A[Node-1][Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
	}
	if(bc==2)
	{
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			A[Node-1][i]=0.0;
		} 
		A[Node-1][Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
		b[0]+=-N0;
	}
	if(bc==3)
	{
		for(i=0;i<Node;i++)
		{
			A[0][i]=0.0;
		} 
		A[0][0]=1.0;b[0]=D0;
		b[Node-1]+=N1;
	}
}

int main()
{
	int i;
	int Ele=100;
	int Node=Ele+1;
	double L=1.0;
	double dx=L/Ele;
	double eps=pow(2.0,-50);
	int bc=1;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=2.0; 
	double N0=0.0;
	double N1=2.0;
	vector<double> b(Node,0.);
	vector<double> x(Node,0.);
	vector<double> f(Node,1.);
	vector<vector<double> > A(Node,(vector<double>(Node,0.)));
	
	ofstream fk;
	fk.open("answer.txt");
	
	mat(A,b,f,Ele,dx);
	boundary(bc,D0,D1,N0,N1,A,b,Node);
	GS(A,x,b,Node,eps);
	
	for(i=0;i<Node;i++) cout<<x[i]<<endl;
	for(i=0;i<Node;i++) fk<<dx*i<<" "<<x[i]<<endl;

	return 0;
}


次に一次元配列だけで処理している方です。今回は行列が三重対角行列になるので、vectorのDに対角要素を、Lに対角要素の左隣の要素を、Rに対角要素の右隣の要素を格納しています。

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <vector>

using namespace std;

//Gauss-Seidel
inline void GS(vector<double> &D,vector<double> &L,vector<double> &R,vector<double> &x,vector<double> &b, int &Node, double &eps)
{
	int i,k;
	double in,sum,max;
	for(k=0;k<100000;k++)
	{
		max=0.0;
		in=x[0];
		x[0]=(b[0]-R[0]*x[1])/D[0];
		if(max<abs(in-x[0])) max=abs(in-x[0]);
		for(i=1;i<Node-1;i++)
		{
			in=x[i];
			x[i]=(b[i]-(L[i]*x[i-1]+R[i]*x[i+1]))/D[i];
			if(max<abs(in-x[i])) max=abs(in-x[i]);
		}
		in=x[Node-1];
		x[Node-1]=(b[Node-1]-L[Node-1]*x[Node-2])/D[Node-1];
		if(max<abs(in-x[Node-1])) max=abs(in-x[Node-1]);
		if(eps>max) break;
	}
}

inline void mat(vector<double> &D,vector<double> &L,vector<double> &R,vector<double> &b, vector<double> &f, int &Ele, double &dx)
{
	int i;
	for(i=0;i<Ele;i++)
	{
		D[i]+=1.0/dx;R[i]+=-1.0/dx;
		L[i+1]+=-1.0/dx;D[i+1]+=1.0/dx;
		b[i]+=(2.0*f[i]+1.0*f[i+1])*dx/6.0;
		b[i+1]+=(1.0*f[i]+2.0*f[i+1])*dx/6.0;
	}
}

inline void boundary(int &bc,double &D0,double &D1,double &N0,double &N1,vector<double> &D,vector<double> &L,vector<double> &R,vector<double> &b,int &Node)
{
	if(bc==1)
	{
		D[0]=1.0;R[0]=0.0;b[0]=D0;
		L[Node-1]=0.0;D[Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
	}
	if(bc==2)
	{
		L[Node-1]=0.0;D[Node-1]=1.0;b[Node-1]=D1;
		b[0]+=-N0;
	}
	if(bc==3)
	{
		D[0]=1.0;R[0]=0.0;b[0]=D0;
		b[Node-1]+=N1;
	}
}

int main()
{
	int i;
	int Ele=100;
	int Node=Ele+1;
	double LL=1.0;
	double dx=LL/Ele;
	double eps=pow(2.0,-50);
	int bc=1;//bc=1 both Diriclet bc=2 left Neumann bc=3 right Neumann
	double D0=0.0;
	double D1=2.0; 
	double N0=0.0;
	double N1=2.0;
	vector<double> b(Node,0.);
	vector<double> x(Node,0.);
	vector<double> f(Node,1.);
	vector<double> D(Node,0.);
	vector<double> L(Node,0.);
	vector<double> R(Node,0.);
	
	ofstream fk;
	fk.open("answer.txt");
	
	mat(D,L,R,b,f,Ele,dx);
	boundary(bc,D0,D1,N0,N1,D,L,R,b,Node);
	GS(D,L,R,x,b,Node,eps);
	
	for(i=0;i<Node;i++) cout<<x[i]<<endl;
	for(i=0;i<Node;i++) fk<<dx*i<<" "<<x[i]<<endl;

	return 0;
}

コードの流れですが、まず要素の分割数と境界条件の型(bcの値による)を決め、境界条件の設定(値をどうするか)を行い、関数 mat により行列を作成、関数 boundary で境界条件を行列に反映させ、関数 GS(Gauss-Seidel法)で作成した行列を解き、出力しています。出力はテキストファイル "answer.txt" に出てきます。左の行が  x 座標で右の行が求めている関数値  u です。

今回はコードがメインで離散化の詳細を示していませんが、必ず書くのでお待ちください。