数学とか語学とか楽しいよね

数学とか語学とか楽しいよね。勉強したことをまとめます。

基本語5000辞典

ここ二年ほど、毎朝ドイツ語単語帳『ドイツ語基本語5000辞典』を1ページづつ覚えています。この白水社の『基本語5000辞典』にはドイツ語の他に、フランス語、ロシア語、スペイン語とあるのですが、ほぼ全ての単語に例文とその和訳がつけられているという素晴らしい代物です。私もスペイン語以外持っています。もう絶版ですので見つけたら必ず押さえてください。絶対に役に立ちます。私はドイツ語とフランス語は神保町で、ロシア語はAmazonで押さえました。いまだに時々見かけます。飲み会一回パスすれば買えます!

ドイツ基本語5000辞典

ドイツ基本語5000辞典

フランス基本語辞典

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ロシア基本語辞典

ロシア基本語辞典

スペイン基本語5000辞典

スペイン基本語5000辞典


単語の覚え方は木田元のやり方を使っています。

人生力が運を呼ぶ

人生力が運を呼ぶ

闇屋になりそこねた哲学者 (ちくま文庫)

闇屋になりそこねた哲学者 (ちくま文庫)

これについては、他の記事で詳しく解説します。私はこの方法によって大幅に語彙力を増強しました。やはり語彙力が無いと洋書を読み進めるおはしんどいです。

メモ

Obijiofor Aginam argues that while throughout history sexual violence against women is replete with such incidents of rape during times of war, more recent conflicts have seen the use of rape as a weapon of war become a "conspicuous phenomenon".

【フランス語】Burgers方程式―バーガース方程式ーその1

今回は【フランス語】Burgers方程式 Équation de Burgers — Wikipédia を訳していきます。すでに訳したドイツ語版 【ドイツ語】Burgers方程式―バーガース方程式 - 数学とか語学とか楽しいよね も参考にしてください。追々Burgers方程式に対する数値計算手法のまとめをつくりたいです。

Équation de Burgers
Burgers方程式


L'équation de Burgers est une équation aux dérivées partielles issue de la mécanique des fluides.

Burgers方程式は流体力学由来の偏微分方程式である。
・issue: 出身の、から生じた


Elle apparaît dans divers domaines des mathématiques appliquées, comme la modélisation de la dynamique des gaz, de l'acoustique ou du trafic routier.

この方程式は気体の運動、音響学または道路交通のモデル化のように応用数学の様々な分野に現れる。
・routier: 道路の


Elle doit son nom à Johannes Martinus Burgers qui l'a discutée en 1948.

この方程式はその名をJohannes Martinus Burgersに負っている。彼は1948年にこの方程式を論じている。


Elle apparaît dans des travaux antérieurs de Andrew Russel Forsyth et Harry Bateman.

この方程式はAndrew Russel ForsythとHarry Batemanの初期の仕事にもあらわれる。
・antérieur: 以前の、初期の

Formulation
定式化


En notant  u la vitesse, et  \nu le coefficient de viscosité cinématique, la forme générale de l'équation de Burgers est :
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac  {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.

 uを速度、 \nuを動粘性係数とすると、Burgers方程式の一般的な型は
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac  {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}
である。
・en+現在分詞: することによって、北鎌フランス語講座 - 文法編「分詞と分詞構文」 - 北鎌フランス語講座 - 文法編
・noter: 書く


Quand  \nu =0, l'équation de Burgers devient l'équation de Burgers sans viscosité :
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=0.

 \nu =0 のとき、Burgers方程式は、非粘性Burgers方程式
 {\frac  {\partial u}{\partial t}}+u{\frac  {\partial u}{\partial x}}=0
になる。


La matrice jacobienne de cette équation se réduit à la quantité scalaire  u, valeur réelle.

この方程式のJacobi行列は実数のスカラー量である  u になる。


Il s'agit donc d'une équation aux dérivées partielles hyperbolique.

ゆえに双曲型の偏微分方程式である。
・il s'agit: のだ、Il s’agit de|フランス語と英語


Elle peut donc comporter des discontinuités (ondes de choc).

この方程式は不連続(衝撃波)を含み得る。
・comporter: 含む


La forme conservative de cette équation est :
 {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(u^{2}\right)=0.

この方程式の保存形式は
 {\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(u^{2}\right)=0
である。

【ドイツ語】Rolleの定理(ロルの定理)

今日はRolleの定理(ロルの定理)のドイツ語版Wikipedia Satz von Rolle – Wikipedia を訳していきます。Rolleの定理は非常に地味な感じなのですが、平均値の定理やTylorの定理へとつながっていく大事な定理です。

Satz von Rolle
Rolleの定理


Der Satz von Rolle (benannt nach dem französischen Mathematiker Michel Rolle) ist ein zentraler Satz der Differentialrechnung.

Rolleの定理(フランスの数学者Michel Rolleに因む)は微分法において中心的な定理である。

Aussage
命題

・Aussage: 命題、statement


Seien  a < b und  f:[a,b]\to \mathbb{R} eine stetige Funktion, die im offenen Intervall  (a,b) differenzierbar ist.

 a < b とし、  f:[a,b]\to \mathbb{R} を開区間  (a,b)微分可能な連続関数とする。
・stetige Funktion: 連続関数


Erfüllt sie  f(a)=f(b), so gibt es eine Stelle  x_{0}\in (a,b) mit
 f'(x_{0})=0.

もし  f(a)=f(b) ならば、 f'(x_{0})=0 を満たすような  x_{0}\in (a,b) が存在する。
・この倒置は仮定を表す、wennの省略。ドイツ語・動詞の位置 - 主文においては第二位と決まっていて、文... - Yahoo!知恵袋

Interpretation
解釈


Anschaulich bedeutet dies: Auf dem Graphen der Funktion [x: f] gibt es zwischen zwei Kurvenpunkten mit übereinstimmenden Funktionswerten mindestens eine Stelle, wo die Steigung gleich null ist.

これは以下のことをはっきりと意味している。関数 [x: f] のグラフにおいて、関数の値が一致する二点間において少なくともひとつ勾配が0と等しくなる点が存在する。
・anschauich: 目に見えるような、はっきりとした
・übereinstimmend: 一致した
・Steigung: f. 勾配


An dieser Stelle liegt die Tangente waagrecht und damit parallel zur x-Achse.

この点で接線は水平であり、故にx軸に対して平行になる。
・waagrecht: 水平の


Der Satz besagt damit insbesondere, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine Nullstelle der Ableitung liegt.

したがってこの定理は、微分可能な関数が0となるような点の間には微分が0になる点が存在する、ということを特に意味している。
・besagen: 意味する


Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist eine Erweiterung des Satzes von Rolle.

微分法における平均値の定理はRolleの定理の拡張である。
・Erweiterung: f. 拡張
・Mittelwert: m. 平均値


Da sich der Mittelwertsatz mit Hilfe des Satzes von Rolle beweisen lässt, sind beide Sätze äquivalent.

平均値の定理はRolleの定理を用いて証明されるので、両定理は同値である。

Beweis
証明


Da  f über dem kompakten Intervall  [a, b] stetig ist, nimmt sie (nach dem Satz von Weierstraß) an einer Stelle  m\in [a,b] ein Minimum und an einer Stelle  M\in [a,b] ein Maximum an.

コンパクトな区間  [a, b] において  f が連続ならば、 [a, b] は(Weierstraßの定理により)ある点  m\in [a,b] で最小値をとり、ある点  M\in [a,b] で最大値をとる。


Ist  f nicht konstant, so muss wegen  f(a)=f(b) mindestens  m\in (a,b) oder  M\in (a,b) gelten.

もし  f が定数でないならば、 f(a)=f(b) なので少なくとも  m\in (a,b) または  M\in (a,b) が成り立つ。


Diese Extremalstelle sei mit  x_{0} bezeichnet.

この極値 x_{0} とする。


Ist  f konstant, so ist  x_{0}={\frac  {a+b}2} eine Extremalstelle im Inneren des Intervalls  (a,b).

もし  f が定数ならば、極値区間  (a,b) に入るように  x_{0}={\frac  {a+b}2} とする。


Ist die innere Extremalstelle  x_{0} eine Maximalstelle, so folgt aus der Differenzierbarkeit von  f an der Stelle  x_{0}, dass
 f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0
 f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0.
Somit ist  f'(x_{0})=0.

内部の極値  x_{0} が最大値ならば、 x_{0} における  f微分可能性から
 f'(x_{0})=\lim _{{h\searrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\leq 0
 f'(x_{0})=\lim _{{h\nearrow 0}}{\frac  {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}h}\geq 0
が成り立つ。故に  f'(x_{0})=0 となる。


Ist  x_{0} eine Minimalstelle von  f, so ist  x_{0} eine Maximalstelle von  -f und wir erhalten  -f'(x_{0})=0 und somit  f'(x_{0})=0.

もし  x_{0} f の最小値ならば、 x_{0} -f の最大値であり、 -f'(x_{0})=0 が成り立つ。故に f'(x_{0})=0 となる。


Rolleの定理の重要性に私が気付かされたのは瀬山士郎の『「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内』のお蔭です。この本は大学初年度の微積分学、解析学ではまりやすい部分を丁寧に説明している快著です。一回生の頃の私にこの本を渡してあげたいです。そうしていれば今頃数学がばりばりできるようになっていたかも。是非ご一読下さい。

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内

「無限と連続」の数学―微分積分学の基礎理論案内


他には金子晃の『数理系のための基礎と応用 微分積分〈1〉―理論を中心に』でL'Hôpitalの定理を導くためのCauchyの平均値の定理の導出に使われていたことが印象に残っています。

【フランス語】エロマンガ先生

エロマンガ先生』はタイトルがタイトルなので敬遠していたのですが、見てみたら良い作品でした。久しぶりに良いアニメを見た気がします。『ローリング☆ガールズ』以来でしょうか。是非原作のラノベも読みたいです。毎日忙しく暮らしていると、心に澱がたまっていきます。この作品は心にたまったそんな澱を流してくれます。たまにこういう作品を見ないと駄目です。そんなわけで『エロマンガ先生』のフランス語版Wikipedia Eromanga Sensei — Wikipédia から抜粋して訳していきます。さすがフランス、ちゃんとページがある。

www.youtube.com

Synopsis
概要


L'histoire se centre autour d'un lycéen, Masamune Izumi, qui aime rédiger des light novels.

この話はライトノベルを書くのが好きな高校生、和泉正宗を軸に展開する。
・autour de: のまわりに、に関して
・centre autour de: を軸に展開する、center around
・lycéen: lycéeの生徒、高校生
・rédiger: 書く


N'ayant aucune compétences artistiques, Masamune a toujours laissé les illustrations de ses romans à un partenaire anonyme employant le nom de plume d'«Eromanga Sensei».

芸術の才能が全くないので、正宗はいつも小説のイラストを「エロマンガ先生」というペンネームを使用している匿名のパートナーに任せてきた。
・ayant: avoirの現在分詞
・plume: f. ペン


Celui-ci est connu pour ses magnifiques dessins au trait très érotique.

エロマンガ先生はとてもエッチで見事な線画で知られている。
・celui-ci: この、that、指示形容詞・指示代名詞 - 北鎌フランス語講座 - 文法編
・connu: connaîtreの過去分詞
・trait: m. 線


Malgré ça, il est d'une fiabilité extrême.

それにもかかわらず、エロマンガ先生は非常に頼もしい。
・malgre: にもかかわらず
・fiabilité: f. 信頼性


Masamune, outre sa passion et ses cours, doit également s'occuper du seul membre restant de sa famille : sa petite sœur Sagiri, une hikikomori par nature.

正宗は、熱中するラノベの執筆と授業に加えて、彼の唯一生きている家族であるもともと引きこもりの妹、紗霧の世話をしなければならない。
・outre: に加えて
・cours: 講義、授業
・également: 同様に
・s'occuper de: 世話をする
・restant: resterの現在分詞、残っている、生き残っている
・par nature: 生まれつき、もともと


Sagiri s'est enfermée dans sa chambre depuis plus d'un an et mène constamment Masamune malgré ses tentatives de la faire sortir de sa chambre.

紗霧は一年以上自室に引きこもっており、外に連れ出そうとする正宗の試みにもかかわらず、絶えず彼を引き回す。
・s'enfermer: 閉じこもる
・mener: 引き回す
・faire: 使役、北鎌フランス語講座 - ことわざ編 I-3 - 北鎌フランス語講座 - ことわざ編


Cependant, lorsque Masamune découvre sans le vouloir que son partenaire anonyme n'est autre que Sagiri, sa relation fraternelle montre rapidement à des nouveaux niveaux d'excitation, en particulier lorsqu'une belle auteur de manga shōjo et best-seller entre dans la mêlée.

しかしながら、正宗が彼の匿名のパートナーが他でもない紗霧であることを心ならずも発見したとき、兄妹関係は新たなレベルへと盛り上がりを見せる。美少女少女漫画家やベストセラー作家がそのごたごたに加わるときに特にそうである。
・cependant: しかしながら
・lorsque: する時
・découvre: découvrir、発見する
・sans le vouloir: 心ならずも
・n'est autre que: none other than
・mêlée: f. 乱戦、激突

【ドイツ語】Riemann問題ーその3

これで【ドイツ語】Riemann問題シリーズは終わりです。やはり付け焼刃のフランス語よりも曲りなりに2、3年続けているドイツ語のほうが訳しやすいですね。継続は力なりというやつです。

Linearer Fluss
線型の流束

Für den folgenden linearen Fluss:
 {\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}
sst sich die analytische Lösung berechnen.

以下のような線型の流束
 {\displaystyle {\begin{aligned}F(U)=AU,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}\end{aligned}}}
に対して解析解が計算できる。


Für hyperbolische Probleme ist die Matrix  A immer diagonalisierbar:
 {\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}
mit einer Basistransformationsmatrix  {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}}.

双曲型の問題では行列  A は基底変換行列  {\displaystyle T\in \mathbb {R} ^{n\times n}} を用いて
 {\displaystyle TAT^{-1}=\Lambda =\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dotsc ,\lambda _{n})}
のようにつねに対角化可能である。


Mit der Transformation  {\displaystyle W:=T^{-1}U} kann man die PDE entkoppeln:
 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}

変数変換  {\displaystyle W:=T^{-1}U} を用いてその偏微分方程式を以下のように分解することができる。
 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}U+A\partial _{x}U&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\\\Leftrightarrow &\left\lbrace {\begin{aligned}\partial _{t}W+\Lambda \partial _{x}W&=0\\W(x,0)&=W_{0}(x):=T^{-1}U_{0}(x)\end{aligned}}\right.\end{aligned}}}
・entkoppeln: 分解する、decouple


Entkopplung bedeutet in diesem Fall, dass in der  i. Zeile der PDE nur noch Ableitungen von  W_{i} vorkommen.

この場合分解とは偏微分方程式 i 番目の行には  W_{i}偏微分だけが存在することを意味する。
・die Ableitung: 偏微分
・vorkommen: 起こる、存在する


Jede einzelne Gleichung entspricht einer linearen, skalaren Transportgleichung und somit ist die Lösung einfach zu bestimmen:
 {\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t)}.

各方程式は線型のスカラーに対する輸送方程式であり、したがって簡単に解を定めることが出来る。
 {\displaystyle W_{i}(x,t)=(W_{0})_{i}(x-\lambda _{i}t)}
・somit: だから、したがって
・entsprechen: 一致する、correspond


Rücktransformation ergibt nun die gesuchte Lösung:
 {\displaystyle U(x,t)=TW(x,t)}.

逆変換によって探していた解を得る。
 {\displaystyle U(x,t)=TW(x,t)}


Man kann die Lösung auch anders erhalten, indem man den Sprung der Anfangswerte in der neuen Basis darstellt:
 {\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{mit }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} },
wobei die  {\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}} die Eigenvektoren von  A sind (also:  {\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})}).

初期値のジャンプを新しい基底で表現することによって、他の方法でも解を得ることが出来る。
 {\displaystyle U_{R}-U_{L}=\sum _{j=1}^{n}\alpha _{j}t_{j}\quad {\text{with }}\alpha _{j}\in \mathbb {R} }
ここで  {\displaystyle t_{j}\in \mathbb {R} ^{n}} A固有ベクトルである(すなわち  {\displaystyle T=(t_{1},\dotsc ,t_{n})})。
・indem: することによって、接続詞


Nun ist die Lösung gegeben als:
 {\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}}.

解はこのようになる。
 {\displaystyle U(x,t)=U_{L}+\sum _{j:{\frac {x}{t}}>\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}=U_{R}-\sum _{j:{\frac {x}{t}}<\lambda _{j}}\alpha _{j}t_{j}}


最後の話はこの記事だけからは理解できないですね。Toroの赤の書2章に詳しく書いてあります。そのうち自分でRiemann問題の解説を書きたいと考えています。

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction

Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics: A Practical Introduction

【ドイツ語】Riemann問題ーその2

見返してみたら【ドイツ語】Riemann問題も全部訳し終わってないですね。ドイツ語のほうのRiemann問題も進めていきましょう。Wikipediaの記事は専門的な内容だと英語版を翻訳してものが多い印象ですね。日本語の記事も丸々英語の翻訳であることがあります。

Erhaltungsgleichung in nD
N次元における保存方程式


Als wichtige hyperbolische partielle Differentialtialgleichung kann man Erhaltungsgleichungen des folgenden Typs betrachten:
 {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}
wobei  {\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}} und  {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} gilt.

重要な双曲型偏微分方程式として以下のような型の保存方程式を考えることが出来る。
 {\begin{aligned}\partial _{t}U+\partial _{x}F(U)&=0\\U(x,0)&=U_{0}(x)\end{aligned}}
ここで  {\displaystyle U\colon \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} ^{n}} {\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} である。
・betrachten: 考察する


Bei dem Riemann-Problem gilt nun für den Anfangswert:
 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}}
für  {\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}}.

 {\displaystyle U_{L},U_{R}\in \mathbb {R} ^{n}} とするとき、Riemann問題に対して初期値は
 {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)={\begin{cases}U_{L}\quad ,x<0\\U_{R}\quad ,x>0\end{cases}}\end{aligned}}}
である。